Oligopolio di Cournot - condizione di primo ordine

Question

Sto leggendo un articolo che ha questa descrizione della condizione del primo ordine per un gioco Cournot n-firm:

Prendere $P(Q) = Q^{-1}$, $\pi_i(q_i, Q) = (Q^{-1} - c_i)q_i$.

Quindi la condizione di primo ordine per una scelta interna che massimizzi il profitto $q_i$ lo richiede

$$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = Q^{-1} - c_i - q_iQ^{-2} = 0.$$

Sto cercando di capire perché va bene semplicemente prendere $\frac{\partial \pi_i}{\partial Q}$ ignorando il fatto che $Q$ è in realtà una funzione di $q_i$. Se amplio il termine in questo modo$Q = q_i + q_{-i}$ e prendi le derivate parziali $\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial q_{-i}}$, la soluzione non è la stessa di quella scritta nell'articolo. Apprezzerei qualsiasi spiegazione.

Answer 1

Nota :$Q = \sum_{i=1}^n q_i$.

Da qui il problema dell'ottimizzazione dell'impresa $i$ è: \begin{align} max_{x_i\in\mathbb{R}_+}\pi_i(q_i,Q) \end{align} dove $\pi_i(q_i,Q) = \big(Q^{-1}(q_i;q_{-i}) -c_i\big)q_i$. Supponendo una soluzione interna, la condizione del primo ordine è\begin{align} \frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q_i} &= 0\\ \implies (Q^{-1} - c_i) + (-1)Q^{-2}q^*_i* 1 &= 0\\ \implies q^*_i &= Q(1-Qc_i) \end{align}

Answer 2

L'essenza / versione abbreviata e generalizzata della risposta precedente:

Nel contesto dove $Q = \sum_i q_i$ l'equazione $$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial Q}{\partial q_i}\frac{\partial \pi_i}{\partial Q} $$ tiene come $$ \frac{\partial Q}{\partial q_i} = 1. $$