Omomorfismo di $k$-algebre inducono omomorfismo dello spettro massimo

Aug 19 2020

Per $k$ un campo algebricamente chiuso, definiamo un affine $k$-algebra per essere un finitamente generato $k$-algebra ridotta (es $\sqrt{(0)} = (0)$). Per un'affinità$k$-algebra $A$, definiamo $\operatorname{specm} A$essere l'insieme degli ideali massimi. Quindi abbiamo la seguente proposizione:

Se $\alpha: A \rightarrow B$ è un omomorfismo di affine $k$-algebre, allora $\alpha$ induce una mappa continua degli spazi topologici $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ dove per un ideale massimale $m \subset B$,

$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$

Ho problemi a comprendere la prima metà della dimostrazione che è la seguente:

Prova:

  1. Per ogni $h \in A$, $\alpha(h)$ è invertibile in $B_{\alpha(h)}$ (che denota la localizzazione di $B$ a $\alpha(h)$), quindi l'omomorfismo $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ si estende a un omomorfismo $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$

  2. Per qualsiasi ideale massimale $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ è massimo in $A$ perché $A/m \rightarrow B/n$ è una mappa iniettiva di k-algebre che lo implica $A/m$ è $k$.

Non credo che il passaggio 1 sia utilizzato altrove nella dimostrazione, quindi sembra che il passaggio 2 debba essere una conseguenza del passaggio 1. Qualcuno potrebbe spiegare come? In particolare, il passaggio 1 è il motivo per cui la mappa nel passaggio 2 è iniettiva? Grazie!

Risposte

4 AlexYoucis Aug 19 2020 at 16:14

Non so dove stai leggendo, ma sembra eccessivamente complicato. Supporre che$\alpha: A\to B$ è una mappa di $k$-algebre dove $A$ e $B$sono di tipo finito. Permettere$\mathfrak{m}$essere un ideale massimo. Lo vogliamo dimostrare$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$è un ideale massimale. Nota però che la mappa indotta

$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$

è sice iniettiva se $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ è zero, quindi questo dice quello $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ così che $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ che lo dice $a\alpha^{-1}(m)$ è zero.

Ora, notiamo che mentre potremmo essere preoccupati per questo $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$non è massimo, è certamente primo. Infatti, se$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ poi $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. Ma questo implica quello$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ quindi neanche $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ o $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. Ma questo significa proprio questo$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ o $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. Da$a$ e $b$ erano arbitrari lo vediamo $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$è primo come desiderato ( NB: ovviamente questo non lo usava$\mathfrak{m}$ è massimo e funziona per qualsiasi ideale primo).

Quindi, lo vediamo $\alpha$ induce un'inclusione del dominio integrale $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ nel campo $B/\mathfrak{m}$. Se avessimo a che fare con anelli arbitrari, questa sarebbe l'intera portata di ciò che potremmo davvero dire. Ma il fatto che abbiamo a che fare con il tipo finito$k$-algebre è quello che dice il giorno.

Come mai? Dal Nullstellensatz da allora$B$ è una dimensione finita $k$-algebra ce l'abbiamo $B/\mathfrak{m}$ è una dimensione finita $k$-algebra! Quindi, in particolare, da allora$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ incorpora in $B/\mathfrak{m}$ come un $k$-algebra lo vediamo $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ è un dominio integrale che è anche un $k$-algebra che è finita dimensionale $k$. È abbastanza.

Vale a dire, in assoluta completa generalità se $\ell$ è un campo e $R$ è un dominio integrale che è un $\ell$-alebrawith $\dim_\ell R<\infty$ poi $R$ è un campo.

Perché? Dobbiamo dimostrarlo per chiunque$r\in R$ che è diverso da zero $r$ha un inverso moltiplicativo. Ma questo significa proprio che la mappa

$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$

è invertibile, evidentemente se $r$ ha quindi un inverso moltiplicativo $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ e se $m_r$ è invertibile quindi $1$ è a immagine di $m_r$ il che significa che esiste $x$ tale che $1=m_r(x)=rx$.

Ma nota che da allora $R$ è un dominio che $m_r$ è iniettiva - se $m_r(x)=0$ poi $rx=0$ il che implica, dalla proprietà del dominio, che $x=0$ da $r\ne 0$. Ma notalo$m_r$ è chiaramente una mappa di $k$-spazi vettoriali, e poiché qualsiasi endomorfismo iniettivo di uno spazio vettoriale a dimensione finita è un automorfismo, vinciamo!