Omotopia tra omeomorfismi

Aug 23 2020

Permettere$X=\mathbb{R}^n$,$\phi_0,\phi_1:X\rightarrow X$essere auto-omeomorfismi. Quando possiamo costruire un'omotopia$$ \begin{aligned} \Phi &:X\times [0,1]\rightarrow X\\ &(x,t)\mapsto \Phi(x,t) \end{aligned} $$tale che$\Phi(x,i)=\phi_i(x)$, per$i=0,1$e per ciascuno$t \in [0,1]$,$x\mapsto \Phi(x,t)$è un omeomorfismo?

Risposte

2 ConnorMalin Aug 23 2020 at 02:32

Questo sta chiedendo informazioni sui componenti del percorso dello spazio$\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$.

Facciamo una domanda di riscaldamento che consiste nel calcolare i componenti del percorso di$\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$. Per traduzione, l'inclusione dei diffeomorfismi che fissano l'origine è una retrazione della deformazione, quindi possiamo presumere che i nostri diffeomorfismi fissino l'origine.

Localmente vicino all'origine, la mappa$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$si comporta come la sua matrice di derivate parziali. In sostanza, ingrandendo infinitamente lontano, diamo un percorso da$f$a$f'$da cui dipende continuamente$f$. Quindi, abbiamo una retrazione della deformazione di$\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$a$GL_n(\mathbb{R})$, e quest'ultimo ha due componenti del percorso che sono determinate dal grado della mappa. Vederehttp://people.math.harvard.edu/~kupers/teaching/272x/book.pdfTeorema 9.1.1 per un'argomentazione precisa.

Molto più difficile è il caso topologico, ma dall'alto si potrebbe congetturare che ci siano esattamente due componenti del percorso a seconda del grado della mappa. Si basa su un teorema difficile che tutti gli omeomorfismi di grado 1 di$\mathbb{R}^n$sono stabili, nel senso che sono una composizione di omeomorfismi che sono l'identità su un sottoinsieme aperto.

È facile dimostrare che un omeomorfismo stabile è isotopico all'identità, quindi ci sono due componenti di percorso di$\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$. Per i riferimenti, vi rimando al capitolo 26 delle note di cui sopra di Kupers.

Quindi, per rispondere direttamente alla tua domanda, hai una tale omotopia, se e solo se entrambi preservano l'orientamento o entrambi si invertono.