Operatore lineare integrale di convoluzione attivo$L^2$

Question

Definire un operatore lineare su$L^2[0,1]$di$K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. Dato$g \in L^2[0,1]$, trova$f$tale che$f = g + K(f)$.

Sono davvero perso su come farlo. L'ho già dimostrato$K$è un operatore lineare limitato, quindi ho pensato che forse avrei potuto usare il teorema di rappresentazione di Riesz, ma non credo sia la direzione giusta.

Gradirei davvero un suggerimento su dove andare. Grazie!

Answer 1

L'equazione integrale può essere risolta utilizzando la trasformata di Laplace. Applicare la trasformata di Laplace a entrambi i membri, sfruttando il fatto che la trasformata di Laplace di una convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate di Laplace di ciascuna funzione. Così facendo, ottieni l'equazione$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$dove$F$e$G$sono le trasformate di Laplace di$f$e$g$, rispettivamente. Prendi la trasformata di Laplace inversa termine per termine, usando il teorema di convoluzione per trovare la Laplace inversa del secondo e ultimo termine sul lato destro.

Answer 2

Questa è la stessa domanda per mostrarlo$f\mapsto K(f)-f$è un operatore lineare suriettivo. Perché$K$è un operatore di Hilbert-Schmidt, è compatto e$T(f)=K(f)-f$è quindi Fredholm. Infatti, è Fredholm di indice zero, perché l'indice di Fredholm non cambia per addizione di compatti. Quindi, se dimostriamo che il kernel è banale, allora abbiamo dimostrato che l'operatore è suriettivo.

Supponiamo che$T(f)=0$, o, equivalentemente,$K(f)=f$. Quindi per quasi tutti$t$,$f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. Poiché l'immagine di un operatore di convoluzione è continua, possiamo scegliere un rappresentante continuo per$f$, e chiedere l'uguaglianza puntuale. Ora, in qualsiasi momento$t_0$,$\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$, che è minore o uguale a$\|f\|_\infty\cdot h$, e quindi la funzione è differenziabile. Ora, differenziando sotto l'integrale, lo vediamo$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$, e questo significa che$f''(t_0)=f(t_0)$, Così$f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. Collegando questi si ottiene immediatamente questo$c_1,c_2=0$, quindi il kernel è banale e l'indice di Fredholm essendo zero significa che l'operatore$T$è suriettivo.