$\operatorname{Tr}A=\sum_ke_k'Ae_k, $ dove $e_k$ sono vettori ortonormali.

Question

Permettere:

• $n \in \mathbb{N}$
• $A$ una matrice di dimensioni $(n,n)$
• $e_k$ qualsiasi vettore ortonormale quindi: $$ \operatorname{Tr}A=\sum_{1 \leq k \leq n} e_k'Ae_k, $$Il risultato è indicato in questa pagina e un risultato chiuso qui .

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Il mio tentativo:

• Permettere $\mathcal{B}=(e_1 \dots e_n)$ essere la base iniziale (ortonormale) e $f$ l'endomorfismo rappresentato da $A$ in $\mathcal{B}$.
• $(v_1 \dots v_n)$ qualsiasi base ortonormale, esiste $P$ Ortonormale : $Pe_i=v_i$
• Permettere $1 \leq j \leq n$

$ \begin{align*} f(e_j)&= \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} \\ \langle f(e_j),(e_j)\rangle &=a_{j,j} \\ \sum_{j=1}^{n} \langle f(e_j),(e_j)\rangle &=\operatorname{Tr}A \\ \sum_{i=1}^{n} e_i' A e_i &=\operatorname{Tr}A\\ \operatorname{Tr}A&=\operatorname{Tr}(P'AP)=\sum_{i=1}^{n} e_i' P'AP e_i = \sum_{i=1}^{n} (Pe_i)'A(P e_i) = \sum_{i=1}^{n} v_i'Av_i \\ \end{align*} $

Answer 1

Non hai davvero formulato una domanda specifica, ma presumo che tu stia chiedendo aiuto per mostrare l'identità in questione.

Permettere $\{e_k\}_{k=1}^n\subseteq\mathbb{R}^n$ essere un insieme ortonormale di vettori e sia $A\in\mathbb{R}^n$. Definisci la matrice \ begin {equation *} U = \ begin {bmatrix} e_1 & e_2 & \ cdots & e_n \ end {bmatrix}. \ end {equation *} Notalo$U$ è una matrice ortogonale, cioè $UU^\top = U^\top U = I_n$. Pertanto, \ begin {equation *} \ text {tr} (A) = \ text {tr} (AI_n) = \ text {tr} (AUU ^ \ top) = \ text {tr} (U ^ \ top AU) = \ text {tr} \ begin {bmatrix} e_1 ^ \ top \\ e_2 ^ \ top \\ \ vdots \\ e_n ^ \ top \ end {bmatrix} A \ begin {bmatrix} e_1 & e_2 & \ cdots & e_n \ end {bmatrix} = \ text {tr} \ begin {bmatrix} e_1 ^ \ top A e_1 & e_1 ^ \ top A e_2 & \ cdots & e_1 ^ \ top Ae_n \\ e_2 ^ \ top Ae_1 & e_2 ^ \ top A e_2 & \ cdots & e_2 ^ \ top A e_n \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ e_n ^ \ top Ae_1 & e_n ^ \ top A e_2 & \ cdots & e_n ^ \ top A e_n \ end {bmatrix} = \ sum_ {k = 1} ^ n e_k ^ \ top A e_k. \ end {equation *}