Oscillatore armonico quantistico, energia di punto zero e numero quantico n

Question

L'energia di un oscillatore armonico quantistico è data come

\begin{equation} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{equazione}

Comprendo le implicazioni del principio di indeterminazione di Heisenberg che non consente agli atomi di essere fermi anche a$0$K. Questa incertezza è la ragione di una certa energia posseduta dagli atomi a$0$K - l' energia del punto zero (ZPE). La maggior parte dei testi introduce ZPE notando come con$n = 0$c'è ancora un'energia residua uguale a$\frac{1}{2}\hbar\omega$.

è$n$solo un numero? Se è così, come ha fatto$n = 0$qualcosa a che vedere con la temperatura?

Answer 1

L'energia del punto zero non ha importanza qui, dal momento che puoi sempre scegliere la tua energia di riferimento liberamente puoi spostare l'energia del tuo hamiltoniano di$\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$e la fisica del sistema rimarrà la stessa (la funzione d'onda sarà la stessa). Poiché questa funzione d'onda non è una funzione delta situata a zero (come è nella meccanica classica) ma invece più estesa, puoi interpretarla come, ad esempio, i tuoi atomi vibrano ancora quando si trovano in questo autostato dell'hamiltoniano.

Riguardo alla tua domanda: Sì,$n$è solo un numero che ha lo scopo di etichettare gli autostati energetici dal più basso al più alto. La temperatura gioca solo indirettamente. Per definire una temperatura, devi definire un insieme termico (hai bisogno di più di una particella per farlo correttamente) con una matrice di densità associata$\rho$. Una scelta comune per questo è data da$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$dove$|i\rangle$denotiamo gli autostati energetici e$E_i$gli autovalori di energia corrispondenti (in questo caso per l'oscillatore armonico).$T$è la temperatura,$k$solo una costante. È possibile interpretare (in modo simile a un coefficiente di espansione della funzione d'onda) che il fattore$e^{-E_{i}/kT}/z$è una probabilità di essere nello stato$|i\rangle$. Puoi vederlo quando$T\rightarrow 0$, rimarrà solo il coefficiente con l'autovalore di energia più basso (qualsiasi coefficiente con maggiore$E_i$-il valore svanirà più velocemente). Da ciò si può dedurre che per un sistema generale (non solo il tuo esempio di oscillatore armonico) il sistema sarà nello stato di energia più bassa quando$T\rightarrow 0$(purché tu abbia un insieme termale).

Answer 2

Il numero quantico n rappresenta semplicemente i diversi livelli di energia dati dall'oscillatore armonico.

$\mathbf{n=0}$non corrisponde a una data temperatura, ma la sua occupazione relativa ad altri livelli di energia corrisponde a una data temperatura. Quando un sistema aumenta di temperatura, i livelli di energia più elevati possono essere occupati in numero maggiore. Allo stesso modo, a 0 K è necessario che venga occupato solo il livello di energia più basso.

Answer 3

è$n$solo un numero?

$n$è davvero un numero È solo un numero? Bene, è un numero quantico , il che significa che etichetta il$n^{\textrm{th}}$livello di energia eccitato del sistema (es$(n+1)^{\textrm{th}}$più piccolo autovalore dell'Hamiltoniana del sistema, con$n=0$corrispondente all'autovalore più piccolo ,$n=1$corrispondente al secondo autovalore più piccolo, ecc.

Se è così, allora come funziona$n = 0$c'entra qualcosa con la temperatura?

La matrice di densità di un sistema con il potenziale dell'oscillatore armonico è spesso data in termini di Hamiltoniano$H$di:

\begin{equation} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\right)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{equazione}

Le diagonali della matrice di densità da in alto a sinistra a in basso a destra ti dicono quindi la probabilità di trovare il sistema in$n=0,1,2,\ldots$, il che significa che se l'elemento in alto a sinistra della matrice di densità è$p$, la probabilità del sistema di essere trovato al livello di energia corrispondente a$n=0$è$p$. quando$T=0$abbiamo che la probabilità che il sistema sia in uno stato eccitato ($n>0$) è estremamente soppresso dall'esponenziale in decadimento e puoi contare di trovare il sistema al$n=0$livello. quando$T$è più grande, è più probabile che gli stati eccitati vengano popolati. Come$T$approcci$+\infty$, l'esponenziale si avvicina a 1 e ci avviciniamo a uno scenario in cui le probabilità diventano uguali per ogni stato$n$.

Eq. 1 in questa risposta è anche:

• Eq. 1 in questa risposta: convertire l'energia di legame di adsorbimento in temperatura assoluta
• Eq. 3 in questa risposta: posso calcolare la differenza di energia libera nei microstati (temporalmente) vicini usando l'equazione di Zwanzig per la perturbazione dell'energia libera?
• Eq. 2 in questa risposta: oscillatore armonico quantistico, energia di punto zero e numero quantico n

Answer 4

è$𝑛$solo un numero?

In breve,$n$è il numero quantico di energia dell'oscillatore armonico quantistico.

Se è così, allora come funziona$𝑛$=$0$c'entra qualcosa con la temperatura?

In particolare,$n$=$0$significa che l'oscillatore armonico rimarrà al suo stato fondamentale. Di solito, si presume che lo stato fondamentale di un sistema quantistico sia vissuto a temperatura zero. Pertanto, puoi trovare una connessione tra$n=0$e punto zero.

• Ecco un post per parlare della relazione tra temperatura zero e stato fondamentale.

  • https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man

• Ecco un post per parlare di qual è la dimensione per parlare di equilibrio termico (questo è importante per definire la temperatura):

  • https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium

Che aiuti.

Answer 5

Come è già stato affermato in molte altre risposte,$n$è solo un numero, e la popolazione degli stati con diversi$n$dipende dalla temperatura.

Tuttavia, un punto importante non è stato ancora menzionato. L'oscillatore armonico quantistico viene spesso invocato per il moto nucleare. Nasce dall'espansione di Taylor del secondo ordine della superficie dell'energia potenziale nucleare di Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$

dove il termine di primo ordine svanisce da allora$\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$al minimo.

Poiché l'estensione spaziale degli stati aumenta con$n$, cresce anche l'importanza degli effetti anarmonici$n$, o con l'aumento della temperatura.