Palle nello spazio di Hilbert
Di recente ho notato un fatto interessante che porta a una domanda forse difficile. Se$n$ è un numero naturale, lascia $k_n$ essere il numero più piccolo $k$ tale che una palla aperta di raggio $k$ in un vero spazio di Hilbert di dimensione sufficientemente grande o dimensione infinita contiene $n$ sfere aperte disgiunte a due a due di raggio 1. (La dimensione dello spazio di Hilbert è irrilevante fintanto che è almeno $n-1$ poiché può essere sostituito dal sottospazio affine attraversato dai centri delle palle.) Ovviamente sì $k_1=1$ e $k_2=2$, ed è facile vederlo $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$. Il fatto interessante è questo$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ per tutti $n$, poiché in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita una sfera aperta di questo raggio contiene infinite sfere aperte a coppie disgiunte di raggio 1 [considerare le sfere centrate in punti di una base ortonormale]. Le domande ovvie sono: (1) Che cos'è$k_n$? Questo può essere noto, ma sembra difficile poiché è correlato all'imballaggio della sfera. (2) È$k_n$ anche rigorosamente in aumento $n$? (3) È$k_n<1+\sqrt{2}$ per tutti $n$, o sono uguali per sufficientemente grandi $n$? (4) È anche vero che$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$? Non è nemmeno del tutto ovvio che$k_n$ esiste per tutti $n$, cioè che c'è un più piccolo $k$ per ciascuno $n$, ma dovrebbe esserci qualche argomento di compattezza che lo dimostra. Trovo interessante che i numeri$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ e $1+\sqrt{2}$sono così vicini ma il comportamento delle palle è così radicalmente diverso. Suppongo che la domanda sia interessante anche negli spazi di Hilbert di dimensioni ridotte: let$k_{n,d}$ sii il più piccolo $k$ tale che una palla aperta di raggio $k$ in uno spazio di dimensione di Hilbert $d$ contiene $n$ sfere aperte disgiunte a due a due di raggio 1. Quindi $k_{n,d}$ si stabilizza a $k_n$ per $d\geq n-1$. Cosa è$k_{n,d}$? (Questo potrebbe essere molto più difficile poiché è praticamente la questione del confezionamento di sfere se$n>>d$.)
Risposte
Per comodità di annotazione, lasciami scrivere l'aspettativa $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ per denotare la media $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$.
Se ho capito bene la tua costruzione, hai sfere di raggio disgiunte $1$ centrato su $x_i = \sqrt{2} e_i$ contenuto in una sfera di raggio $1+\sqrt{2}$ centrato su $y = 0$. Questa costruzione, che luoghi$n$ palline strettamente impacchettate ai vertici di un simplex regolare, è ottimale in termini di posizioni $x_i$. Per l'esatto limite ottimale per il tuo problema, dovresti scegliere$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ per ottenere il raggio $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
L'affermazione che posizionando l'estensione $x_i$ ai vertici di un regolare $(n-1)$-simplex e $y$al baricentro di questo simplex è ottimale è stato dimostrato molte volte prima in molti contesti differenti. Ad esempio, è implicito da un limite noto da varie sottostringhe del " limite di Welch-Rankin simplex " nella teoria dei frame. Ecco una semplice dimostrazione diretta:
Dalla disuguaglianza del triangolo, una sfera di raggio $1+r$ centrato su $y$ contiene una sfera di raggio $1$ centrato su $x_i$ iff $\lVert x-y\rVert \le r$. Due sfere di raggio$1$ centrato su $x_i$ e $x_j$ sono disgiunti iff $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$. Pertanto, il tuo problema chiede di ridurre al minimo$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ soggetto a $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$.
Lavorare con distanze quadrate è più facile. La distanza quadratica massima$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ è sicuramente almeno la media $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$. Questa media è ridotta al minimo quando$y$ è essa stessa la media $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$, nel qual caso è uguale a $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$. Ogni termine dove$i=j$ contribuisce $0$ a questa aspettativa, mentre ogni termine dove $i\ne j$ contribuisce almeno $2$, quindi nel complesso questa aspettativa è almeno $2(n-1)/n$. Quindi la distanza quadratica massima$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ è almeno $2(n-1)/n$ e quindi $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ Possiamo verificare che la configurazione ottima menzionata prima raggiunga questo limite o mediante calcolo diretto o notando che raggiunge l'uguaglianza in ogni fase del nostro argomento.