Per quanto riguarda la finitezza del limite delle somme

Aug 19 2020

Permettere $U$ essere un dominio in $\mathbb{C}^n$. Permettere$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ essere una funzione continua con la proprietà che $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ per tutti $z,w\in U$ e $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ per tutti $z,w,v\in U$.

Ci viene dato un percorso regolare a tratti $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dove$\gamma(a)=z$ e $\gamma(b)=w$. Prendi una partizione$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. Quindi scegli partizioni più fini e più fini soddisfacenti$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.

Ora definisci $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.

Si dice dalla continuità di $\gamma$, $L_\alpha$è ben definito. So che per ogni partizione finita la somma è finita, ma perché il limite sarà finito?

Risposte

AlexRavsky Sep 27 2020 at 07:55

Il limite può essere infinito anche quando $\gamma$è la mappa dell'identità. Anzi, lascia$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$, e $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ per tutti $z,w\in U$. Permettere$a=-1$, $b=1$ e $\gamma(x)=x$ per ciascuno $x\in [-1,1]$. Dato$n$, per ciascuno $i\in\{0,1,\dots,n\}$ mettere $x_i=2i/n-1$. Poi$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ che tende all'infinito quando $n$ tende all'infinito.