Perché dovrebbe esistere questo limite multivariabile?

Question

Considera il limite$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$

La mia argomentazione sul perché il limite non esiste: non esiste lungo il percorso$y=0$. Oppure, in un'altra prospettiva,$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$è indefinito su infiniti punti in qualsiasi intorno di$(0,0)$.

Ma in molte domande come questa, il ragionamento di cui sopra viene ignorato e si procede con altre tecniche. (In questo modo: Calculus sin limit con due variabili [multivariable-calculus] ) Ma come è valido? Può esistere il limite con la funzione indefinita in tanti punti attorno al punto dato?

Answer 1

Ecco una definizione per i limiti:

Permettere$X,Y$essere spazi metrici,$E\subseteq X$,$f:X\to Y$essere una funzione, e$a$essere un punto limite di$E$. Diciamo la funzione$f$ha un limite a$a$(nello spazio$Y$) se è soddisfatta la seguente condizione:

• Lì esiste$l\in Y$tale che per ogni$\epsilon>0$, esiste un$\delta>0$tale che per tutti$x\in E$, Se$0 <d_X(x,a)< \delta$poi$d_Y(f(x), l) < \epsilon$.

In questo caso, possiamo dimostrare$l$è unico e noi scriviamo$\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$

In questa formulazione dei limiti, si noti che la funzione$f$non deve essere definito su tutto lo spazio$X$. Deve essere definito solo su un determinato sottoinsieme$E$(è molto probabile che$X\setminus E$è un insieme infinito, ma questo non ha importanza). Inoltre il punto,$a$, dove stiamo calcolando il limite non deve nemmeno essere un elemento di$E$; abbiamo solo bisogno$a$essere un punto limite di$E$.

Nel tuo caso, prendiamo$X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$(entrambi con le solite metriche euclidee) e$E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$. In questo caso definiamo$f:E\to Y= \Bbb{R}$di$f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$, e il punto$(0,0)$è certamente un punto limite dell'insieme$E$. Quindi, possiamo certamente provare a calcolare il limite (e in questo caso il limite esiste ed è uguale$1$... se hai bisogno di ulteriori approfondimenti su questo fammi sapere)