Perché i reali con l'operazione $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ è un gruppo?
L'operazione sopra è un gruppo per i numeri reali, poiché 0 è l'elemento identità e il negativo di ogni numero reale è il suo inverso, come si può osservare banalmente. L'associatività è meno banale, ma vale.
Infatti, se sostituiamo 3 per qualsiasi numero dispari (5, 7 ...), l'operazione soddisfa le proprietà del gruppo. Tuttavia, qualsiasi numero pari fallisce.
C'è qualche interpretazione geometrica / analitica / ... del perché un'operazione come $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ è associativo e, di conseguenza, dà la struttura di un gruppo ai reali?
Risposte
Permettere $G$ essere qualsiasi gruppo, $X$ essere qualsiasi set, e $f: X \rightarrow G$essere qualsiasi biiezione. Quindi, possiamo trasferire la struttura del gruppo da$G$ per $X$ IMPOSTANDO $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Cioè, usiamo la biiezione$f$ per identificare gli elementi di $G$ ed elementi di $X$e crea una struttura di gruppo $X$utilizzando questa identificazione. Lo lascio come esercizio su cui questo definisce effettivamente una struttura di gruppo$X$.
Adesso prendi $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ e $f(x)=x^3$ per recuperare il tuo caso.
Se $f$ è una strana biiezione dei reali quindi l'operazione
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
rende i reali un gruppo e $f$un isomorfismo dal gruppo additivo dei reali a quel gruppo. Nel tuo caso$f(x)=x^3$. L'associatività deriva dal fatto che$f$ è un omomorfismo. $0$ è l'elemento neutro e $-x$ è l'inverso di $x$. Ecco il fatto che$f$ è dispari è usato.
Per una biiezione arbitraria$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, l'operazione $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ è una legge di gruppo su $\mathbf R$. Tutto questo dice che se rinomini ogni numero reale$x$ come $f(x)$ quindi puoi convertire la legge di gruppo originale $+$ in una legge di gruppo $*$ così che $f$ è un isomorfismo da $(\mathbf R, *)$ per $(\mathbf R,+)$. L'intuizione è algebrica, non geometrica. Non c'è niente di magico$n$th radici per dispari $n$ oltre ad essere una biiezione.
La funzione tangente iperbolica $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ è una biiezione che ti consente di trasportare l'aggiunta su $\mathbf R$ a una legge di gruppo su $(-1,1)$che viene utilizzato nella relatività speciale (aggiunta di velocità nel movimento unidimensionale). L'inverso di questa biiezione, fino a un fattore di scala, è chiamato "rapidità" in fisica.
Risposta breve: perché $\sqrt{x^2}\ne x$ per $x<0$.
Risposta lunga, in cui preferisco $\cdot$ per $\bullet$:
Un'operazione soddisfacente $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ chiude i reali, poiché se $n$ è strano che possiamo prendere il $n$th radice, & if $n$ è anche solo che proviamo a prendere il file $n$th radice di qualcosa $\ge0$. E da allora$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$i soci dell'operazione. (Annullando il potere di$n$ è banale poiché, anche se $n$ è anche, $\cdot$ è sempre definito per prendere il non negativo $n$comunque la radice.) Quindi, come minimo, formiamo un semigruppo.
Da $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, per dispari $n$ abbiamo anche $0$ come identità, ma per pari $n$ non lo facciamo perché $x\cdot0=|x|$, quindi non è nemmeno un monoide, figuriamoci un gruppo . L'ultimo assiomi del gruppo è inverso, che funziona per dispari$n$ come hai notato, ma anche $n$ noi abbiamo $x\cdot y\ge|x|$, quindi non abbiamo neanche gli inversi.
Suggerimento :
L'associatività deriva semplicemente dal fatto che entrambi $\;(x\bullet y)\bullet z$ e $\;x\bullet( y \bullet z)$ sono uguali a $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$