Perché le equazioni di Maxwell non sono sovradeterminate? [duplicare]

Question

Considera le quattro equazioni differenziali nella tabella data su wikipedia qui e presumi che non ci sia distribuzione di carica in qualsiasi momento, e quindi anche nessuna corrente. Se non è previsto alcun addebito, le quattro equazioni si riducono a quanto segue:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Le ultime due equazioni ci dicono come entrambi i campi magnetico ed elettrico cambiano nel tempo rispettivamente, quindi dati alcuni campi magnetici ed elettrici iniziali, si dovrebbe essere in grado di determinare qualsiasi stato futuro di entrambi i campi. Questo mi fa sembrare ridondanti le prime due equazioni e quindi il sistema sembra eccessivamente determinato. Tuttavia sono chiaramente necessari, quindi devo perdere qualcosa. Le prime due equazioni sono semplicemente condizioni iniziali?

Answer 1

Le prime due equazioni di Maxwell descrivono i campi elettrici e magnetici statici. Da queste equazioni apprendiamo le proprietà geometriche di tali campi e la natura delle linee di forza che questi campi producono. Il primo (quando è presente la carica)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

ci porta a determinare la forma del campo elettrico per qualsiasi tipo di distribuzione di carica. Questo è estremamente importante per lo studio dell'elettrostatica. Inoltre, questa equazione può essere utilizzata per derivare l'equazione di Poisson,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

che ci permette di determinare il potenziale elettrostatico $V$per varie distribuzioni di carica. Possiamo anche usare l'equazione di Maxwell di cui sopra per derivare la legge di Coulomb (sebbene questa legge non sia necessariamente un risultato diretto solo di questa equazione). L'equazione di Poisson è anche uno strumento molto potente nello studio dell'elettrostatica. Questa equazione ha anche potenti applicazioni nella fisica dei semiconduttori.

La seconda equazione di cui parli,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

ci dice qualcosa di molto importante, che è che i monopoli magnetici non esistono. L'implicazione matematica di questa equazione è che deve esistere un potenziale vettore magnetico$\vec A$ dove

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

Questo è un potente risultato matematico. Questo potenziale vettore magnetico è onnipresente nell'elettrodinamica classica e nell'elettrodinamica quantistica.