Perché lo abbiamo $\hbar$ nella relazione di commutazione?
Pensiamo alla costante di Planck come alla pendenza della relazione di dispersione del campo elettromagnetico, $E=\hbar \omega$. La costante di Planck non è indipendente dalla carica dell'elettrone, entrambi possono essere riscalati fintanto che la costante di struttura fine rimane invariata. Tuttavia, è spesso conveniente usarli entrambi.
Quando iniziamo ad imparare QM, molto prima di arrivare a QED, ci viene insegnato che la costante di Planck appare come un multiplo di $i$nella relazione di quantizzazione canonica. Perché??
Non fraintendetemi, sono totalmente d'accordo con il fatto che appare negli studi dell'oscillatore. Potrebbe essere semplicemente una quantità dimensionale in base alla quale sono espresse altre quantità aventi le stesse unità.
Ma in genere ci viene detto in modo molto diverso. Nello spirito di "questo numero$\hbar$ in $[q,p]=i\hbar$ è la costante di Planck il cui valore è ... e imposta la scala alla quale la fisica inizia a essere quantistica ".
Immagina un mondo senza QED, con solo quark e gluoni che interagiscono fortemente. Quale numero metterebbero nella relazione di commutazione quando insegnano agli studenti universitari?
Risposte
Questa domanda illustra una delle sfide fondamentali nell'insegnamento della fisica. Dobbiamo imparare prima le cose più facili, perché siamo umani, ma questo è in diretto conflitto con il desiderio di imparare le cose in una sequenza che è logicamente chiara (prima gli assiomi più profondi e per sempre derivano tutto il resto da quelli).
Noi impariamo $E=\hbar\omega$per i fotoni prima, perché è più facile. Quindi impariamo la QM non relativistica e poi la QED. Ma il motivo per l'apparizione della stessa costante$\hbar$ in entrambe $E=\hbar\omega$ (per i fotoni) e in $[q,p]=i\hbar$ QM non relativistico (che non ha fotoni) proviene da QED!
Per questo caso particolare, ecco una possibile soluzione: dopo che gli studenti lo hanno imparato $E=\hbar\omega$per i fotoni, fai notare che questo è un caso speciale di una relazione che funziona per particelle di tutta la massa, non solo per quelle prive di massa. In particolare, la stessa relazione vale per le particelle massicce nella QM non relativistica. Ora, dopo aver introdotto alcune nozioni di base sulla MQ non relativistica, possiamo annunciare che il fattore di$\hbar$ proviene realmente dalle relazioni di commutazione, quindi possiamo mostrare loro come derivare la realtion $E=\hbar\omega$ da quella ragione più profonda (per particelle massicce).
Nel momento in cui gli studenti sono pronti per imparare la MQ non relativistica, dovrebbero già avere familiarità con il fatto generico che la sequenza delle cose più facili prima è spesso diversa dalla sequenza logicamente chiara, quindi dovrebbero essere aperti a riorganizzare la loro vedono da dove "proviene" la costante di Planck quando imparano la MQ non relativistica. E una volta che gli studenti vedono come il fattore di$\hbar$ in $E=\hbar\omega$ nasce dalle relazioni di commutazione in QM non relativistico, dovrebbero essere aperti all'idea che qualcosa di simile potrebbe essere vero più in generale, quindi dovrebbero essere aperti a un'affermazione come questa:
Più tardi, quando impari a conoscere la QED relativistica, vedrai che la relazione $E=\hbar\omega$ per i fotoni ottiene il suo fattore di $\hbar$ dalla stessa fonte: relazioni di commutazione.
Questa non è una soluzione perfetta, perché gli studenti potrebbero presumere che "relazioni di commutazione" significhi "tra la posizione osservabile e la quantità di moto osservabile", il che non è vero in QED. Quel problema ha anche una facile soluzione, però, stranamente assente dal curriculum standard: dopo aver insegnato QM non relativistica e prima di insegnare QED, insegna QFT non relativistica! La QFT non relativistica è un ottimo ponte pedagogico per molte ragioni, e questa è una di quelle ragioni. Utilizzando la QFT non relativistica, dove la matematica è facile, possiamo mostrare agli studenti come la relazione di commutazione posizione-momento nasce dalla relazione di commutazione campo-campo. Da lì, imparando perché non possiamo costruire un operatore di posizione rigoroso nel caso relativistico e perché possiamo ancora ottenere$E=\hbar\omega$ direttamente dalla relazione di commutazione campo-campo - dovrebbe essere un passaggio concettuale relativamente facile.
Questo non dipende specificamente dalla QED, ma è una conseguenza della proprietà generale della meccanica quantistica che la quantità di moto è il coniugato di Fourier della posizione, o in alternativa dalla soluzione dell'equazione di Schrodinger. Nelle unità naturali la trasformata di Fourier contiene il termine$e^{ix\cdot p}$. Ne consegue che le unità naturali di quantità di moto sono 1 / [lunghezza], e allo stesso modo le unità naturali di energia sono 1 / [tempo]. Proprio come la relatività mostra che le unità naturali di distanza sono le stesse dell'unità di tempo ($c=1$), la meccanica quantistica mostra che le unità naturali di energia sono $\mathrm s^-1$. In altre parole,$\hbar$è semplicemente una costante di conversione tra unità naturali ed energia (o massa). Ciò si riflette nell'attuale definizione SI del chilogrammo, in termini di costante di Planck.