Perché non lo è$V_\kappa$un modello del principio di riflessione di Paul Bernays quando$\kappa$è inaccessibile?

Aug 23 2020

Lavoriamo in KM con due tipi di variabili. Sia PB (Paul Bernays' Reflection) il seguente schema:

$$\psi (\vec x_n, \vec Y_n) \rightarrow \exists t (t \text{ is a transitive set} \land [\psi (\vec x, \vec{Y_n\cap t)}]^t)$$dove$\vec x_n$sono i parametri impostati e$\vec Y_n$sono i parametri della classe (se ce ne sono).$[\psi (\vec x, \vec{Y_n\cap t)}]^t$è il risultato di (i) sostituire ogni occorrenza di$Y_n$insieme a$Y_n \cap t$e quindi (ii) restringendo tutti i quantificatori di primo ordine a$t$e tutti i quantificatori di secondo ordine a sottoinsiemi di$t$.

Permettere$\kappa$essere inaccessibile. Ecco un tentativo di dimostrare che PB è soddisfatto$<V_\kappa, V_{\kappa+1}, \in>$. Lo mostriamo per induzione.

Caso base: supponiamo$<V_\kappa, V_{\kappa+1}, \in> \models \psi (x, Y)$e$\psi (x, Y)$contiene solo quantificatori di primo ordine. Prendiamo$Y$essere un predicato a 1 posto e sappiamo che ce ne saranno alcuni$<V_\alpha, V_\alpha \cap Y, \in>$che è un sottomodello elementare di$<V_\kappa,\ Y, \in>$. Quindi, c'è un insieme transitivo$V_\kappa$che riflette$\psi(x, Y\cap t)$.

Fase di induzione: supponiamo$<V_\kappa, V_{\kappa+1}, \in> \models \psi (x, Y)$e$\psi (x, Y)$è della forma$\exists Z \phi (Z, x, Y)$. Poi ce n'è un po'$X \subseteq V_\kappa$tale che$<V_\kappa, V_{\kappa+1}, \in> \models \phi (X, x, Y)$. Per ipotesi di induzione, esiste un insieme transitivo$t \in V_\kappa$tale che$(\phi (X\cap t, x, Y \cap t))^t$. Così$\exists Z \subseteq t [\phi (Z, x, Y \cap t)]^t$, che è$[\psi (x, Y\cap t)]^t$.

La mia domanda: poiché sappiamo che PB è molto più forte di un inaccessibile, dove va storto questo argomento?

Risposte

1 NoahSchweber Aug 23 2020 at 04:52

La tua fase di induzione non è completa: per quanto riguarda le frasi del modulo$\forall Z\phi(Z,x,Y)$? (E combinazioni booleane, ma questo è meno interessante.) In effetti, è proprio qui che vediamo il possibile fallimento del principio di riflessione:

Permettere$\kappa$essere il meno inaccessibile. Quindi$(V_\kappa,V_{\kappa+1},\in)$soddisfa "L'universo degli insiemi è inaccessibile", formulato come segue:

  • Non c'è set $x$e funzione di classe $F$con dominio$x$tale che la gamma di$F$è cofinale negli ordinali, e

  • Per ogni set $x$c'è un set $y$tale che ogni sottoclasse $A$di$x$è infatti (coestensionale con) un set in$y$.

Nota che questo è$\Pi^1_1$quando espresso in modo ottimale, ovvero appena oltre il punto in cui arriva la tua argomentazione. E infatti è un controesempio al principio di riflessione: se$t\in V_\kappa$è transitivo, allora$(t, \mathcal{P}(t), \in)$non può soddisfare questa frase da allora$\kappa$è il meno inaccessibile.