Perché QED è rinormalizzabile?
La mia comprensione della rinormalizzabilità è che una teoria è rinormalizzabile se le divergenze nelle sue ampiezze possono essere annullate da un numero finito di termini. Lo vedo aggiungendo counterterm (nello schema MS-bar)
$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$
la divergenza a un ciclo di QED può essere resa finita. Tuttavia, non vedo come questo renda la QED rinormalizzabile? Sicuramente mentre lavoriamo con diagrammi con più loop, otterremo più controtermini - dato che possiamo avere diagrammi con molti loop arbitrariamente, non abbiamo bisogno di un numero infinito di controtermini per annullarli?
Risposte
QED ha solo un numero finito di diagrammi divergenti irriducibili. La nozione principale di divergenza di un diagramma è il conteggio della potenza: il termine rappresentato da ogni diagramma ha la forma di una frazione come$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ e puoi calcolare la differenza tra la potenza della quantità di moto al numeratore e al denominatore e chiamarla $D$. Euristicamente il diagramma diverge come$\Lambda^D$ in una scala di quantità di moto $\Lambda$ Se $D > 0$, piace $\ln(\Lambda)$ Se $D=0$, ed è finito se $D < 0$. Questo può fallire - il diagramma può essere divergente per$D < 0$ - se contiene un diagramma secondario divergente più piccolo.
Se risolvi la struttura generale di $D$per i diagrammi di QED, dovresti essere in grado di convincerti che QED ha solo un numero finito di diagrammi divergenti di una particella irriducibili . Che la cancellazione dei diagrammi irriducibili sia sufficiente per cancellare iterativamente le divergenze in tutti i diagrammi di ordine superiore che le contengono in combinazioni arbitrarie a tutti gli ordini è un'affermazione non banale a volte chiamata teorema BPHZ, il cui significato tecnico - sebbene non con questo nome - è spiegato dall'articolo di Scholarpedia sulla rinormalizzazione di BPHZ .
Otteniamo un numero infinito di controtermini, ma saranno tutti nella stessa forma (o in un insieme chiuso), è solo che i coefficienti davanti al termine saranno espansi in una serie di potenze della costante di accoppiamento. Ciò che significa "numero infinito di controtermine -> non rinormalizzabile", almeno dalla mia comprensione, è qualcosa di simile alla teoria phi ^ 5. Dovremo aggiungere un numero infinito di controtermini, come phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., per annullare la divergenza, e questo va avanti per sempre. Questo è diverso da QED per il fatto che abbiamo solo bisogno di un numero finito di controtermini, ma i coefficienti davanti a loro sono determinati ordine per ordine.