Perché QED è rinormalizzabile?

Aug 19 2020

La mia comprensione della rinormalizzabilità è che una teoria è rinormalizzabile se le divergenze nelle sue ampiezze possono essere annullate da un numero finito di termini. Lo vedo aggiungendo counterterm (nello schema MS-bar)

$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$

la divergenza a un ciclo di QED può essere resa finita. Tuttavia, non vedo come questo renda la QED rinormalizzabile? Sicuramente mentre lavoriamo con diagrammi con più loop, otterremo più controtermini - dato che possiamo avere diagrammi con molti loop arbitrariamente, non abbiamo bisogno di un numero infinito di controtermini per annullarli?

Risposte

3 ACuriousMind Aug 19 2020 at 04:14

QED ha solo un numero finito di diagrammi divergenti irriducibili. La nozione principale di divergenza di un diagramma è il conteggio della potenza: il termine rappresentato da ogni diagramma ha la forma di una frazione come$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ e puoi calcolare la differenza tra la potenza della quantità di moto al numeratore e al denominatore e chiamarla $D$. Euristicamente il diagramma diverge come$\Lambda^D$ in una scala di quantità di moto $\Lambda$ Se $D > 0$, piace $\ln(\Lambda)$ Se $D=0$, ed è finito se $D < 0$. Questo può fallire - il diagramma può essere divergente per$D < 0$ - se contiene un diagramma secondario divergente più piccolo.

Se risolvi la struttura generale di $D$per i diagrammi di QED, dovresti essere in grado di convincerti che QED ha solo un numero finito di diagrammi divergenti di una particella irriducibili . Che la cancellazione dei diagrammi irriducibili sia sufficiente per cancellare iterativamente le divergenze in tutti i diagrammi di ordine superiore che le contengono in combinazioni arbitrarie a tutti gli ordini è un'affermazione non banale a volte chiamata teorema BPHZ, il cui significato tecnico - sebbene non con questo nome - è spiegato dall'articolo di Scholarpedia sulla rinormalizzazione di BPHZ .

1 ocf001497 Aug 19 2020 at 03:57

Otteniamo un numero infinito di controtermini, ma saranno tutti nella stessa forma (o in un insieme chiuso), è solo che i coefficienti davanti al termine saranno espansi in una serie di potenze della costante di accoppiamento. Ciò che significa "numero infinito di controtermine -> non rinormalizzabile", almeno dalla mia comprensione, è qualcosa di simile alla teoria phi ^ 5. Dovremo aggiungere un numero infinito di controtermini, come phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., per annullare la divergenza, e questo va avanti per sempre. Questo è diverso da QED per il fatto che abbiamo solo bisogno di un numero finito di controtermini, ma i coefficienti davanti a loro sono determinati ordine per ordine.