Perché questa sequenza non è uniformemente convergente?

Question

In questo problema viene spiegato che $f_n(x)$è puntualmente convergente, ma non uniformemente convergente. Viene anche fornita la spiegazione del motivo per cui non è uniformemente convergente. Tuttavia non riesco a capirlo, quando uso il teorema di seguito ottengo quel limite di$f_n - f = 0$ Qualcuno potrebbe darmi una risposta più dettagliata sul motivo per cui la sequenza è uniformemente convergente?

Answer 1

Da $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, hai $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. In altre parole,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$e, in particolare, è non è vero che$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Quindi, la convergenza non è uniforme.

Answer 2

Per prima cosa, devi determinare il limite puntuale . Permettere$x\in[0,1]$. Per$n>1/x$, $f_n(x)=0$, quindi il limite puntuale è $0$.

Come mostra la spiegazione, abbiamo $\|f_n\|_\infty=n/4$. Quindi,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ e usando il teorema che hai citato, il limite del suprema divergente è equivalente a $f_n$ non convergenti in modo uniforme.

Answer 3

Per definizione di convergenza di una successione in uno spazio normato (o in generale spazio metrico) la successione (fn) non può convergere af perché norma (qui è sup-norma) di (fn - f)> = 1/4 per tutti n.