Perché sono importanti sequenze brevi esatte?
Mi scusi per la mia ignoranza, ma perché sequenze esatte brevi (e più in generale, sequenze esatte) compaiono ovunque nell'algebra omologica? Perché ci interessa il lemma serpente (che produce lunghe sequenze esatte da brevi sequenze esatte) e perché ci interessa dividere lemma / cinque lemma ecc.? Ovviamente le categorie derivate possono essere ottenute da complessi di catena dove$d^2 = 0$, ma sicuramente i complessi di catene non devono essere esatti.
Un'altra digressione, perché le sequenze con $d^n = 0$ di cui non si parla $n>2$?
Poiché l'algebra omologica è spesso considerata uno strumento in matematica, sospetto che la domanda corretta dovrebbe essere: ci sono applicazioni di brevi sequenze esatte al di fuori dell'algebra omologica?
Risposte
Le sequenze (brevi) esatte sono strumenti incredibili, che spesso ci consentono di ottenere informazioni su cose grandi da informazioni su cose più piccole.
Dicendo ciò $0\to A\to B\to C\to 0$ è breve esatto essenzialmente significa che $B$ è "costruito" da $A$ e $C$. Questo processo di "costruzione" non è così semplice e ingenuo come giusto$(A,C)\mapsto A\oplus C$, ma conta ancora come "decomposizione".
Più in generale, da una sequenza esatta $A\to B\to C$, puoi sperare di recuperare informazioni su $B$ dalle informazioni su $A,C$.
Ottenere lunghe sequenze esatte da brevi sequenze esatte è importante perché spesso sei più interessato all'omologia che ai complessi di catena - in questo modo ottenere informazioni sui complessi di catena ("formano una breve sequenza esatta") ti consente di recuperare informazioni su la loro omologia ("forma una lunga sequenza esatta"), che è ciò che ti interessa.
Quando un complesso di catene è esatto, questo ti fornisce immense informazioni a riguardo: per ottenere l'esistenza di un antecedente (cioè per risolvere un'equazione) devi solo calcolare un differenziale (così ottieni "esiste una soluzione al mio equazione "da" questo calcolo mi dà $0$", che è estremamente potente). Se il tuo complesso è esatto anche in gradi ulteriori, puoi ottenere informazioni su quante soluzioni ha la tua equazione ecc.
Prendiamo ad esempio il complesso di de Rham di una varietà: se è esatto a $\Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M)\to \Omega^{k+2}(M)$, questo ti sta dicendo che a $k+1$-modulo $\omega$ è $d$ di qualcosa se e solo se $d\omega = 0$: chiaramente quest'ultimo è più facile da controllare in generale. Ad esempio, nello spazio euclideo, poiché la coomologia di de Rham è$0$, questo significa che se vuoi controllare se un dato campo vettoriale è un gradiente, devi solo calcolare la sua divergenza - questo è utile, ad esempio, in fisica.
Le sequenze esatte vengono applicate in molti punti al di fuori dell'algebra omologica; nella topologia algebrica e nella geometria algebrica (dove possono essere usati per calcolare invarianti, come la (co) omologia degli spazi, o altri oggetti più complicati - ad esempio dalla sequenza esatta Mayer-Vietoris e dall'omotopia-invarianza, puoi calcolare il singolare omologia delle sfere, e quindi distinguerle e dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer), ma anche nella maggior parte dell'algebra (es. teoria delle rappresentazioni, dove puoi usarle per molti scopi: scomporre alcuni oggetti in oggetti più piccoli, più facili da studiare, ridurre i problemi a quelli più semplici, ecc.), e alcune parti di geometria differenziale (dove spesso hai alcune teorie di (co) omologia in giro), alcune parti di analisi (dove hai fasci, e quindi a volte incontri coomologia) ecc. ecc.
Vedi qui per esempi da molti posti: https://mathoverflow.net/questions/363720/short-exact-sequences-every-mathematician-should-know