Permettere $ a$essere un numero naturale fisso. Dimostrare che l'insieme dei primi divisori di $ 2^{2^{n}} + a$ per $ n = 1,2,\cdots$ è infinito

Aug 17 2020

$\textbf{Question:}$Permettere $ a$essere un numero naturale fisso. Dimostrare che l'insieme dei primi divisori di$ 2^{2^{n}} + a$ per $ n = 1,2,\cdots$ è infinito.

Sono venuto a sapere che questo problema deriva facilmente dal "teorema di Kobayashi". Ma questo probabilmente non darà alcun punto in una situazione di matematica da competizione.

A parte questo, penso che dovremmo in qualche modo utilizzare l'idea alla base della dimostrazione di Euclide dell'infinità di numeri primi. Ma sembra troppo complicato. Difficilmente riuscivo a fare progressi in questo problema. Quindi, qualsiasi tipo di suggerimento o soluzione è apprezzato. Grazie in anticipo.

Risposte

1 sirous Aug 17 2020 at 02:29

Supponiamo che con un numero fisso a otteniamo un composto della forma $N=2^{2^n}+a$che ha alcuni primi divisori. Se dimostriamo che questi composti sono infinitamente molti, possiamo concludere che il numero di divisori primi di N per un a fisso è infinito (questo è ciò che si pone la domanda, se l'ho capito correttamente).

Ho trovato questo teorema in un libro di teoria dei numeri di Sierpinski. La prova è di A. Schintzel.

Teorema: per ogni numero naturale $k ≠ 1$ esistono infiniti numeri naturali come n tale quel numero $2^{2^n}+k$ è composto.

Prova:

Sia a un numero naturale arbitrario ek un intero diverso dall'unità $k-1=2^s h$ dove $2^s$ è il più grande potere di $2$ che divide $k-1$e h è un numero dispari che può essere positivo o negativo. Prendi m tale$2^{2^m}>a-k$ e il numero t tale che $t≥s$ e anche $t≥m$. Se$2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k> a$ è composto, quindi abbiamo un numero composto nella forma $2^{2^n}+k$maggiore di a. Quindi supponiamo$p=2^{2^t}+k$è il primo. Da$t≥s$ e $k-1=2^sh$, Poi abbiamo:

$p-1=2^{2^t}+k-1=2^sh_1$

dove $h_1$ è un numero dispari positivo. Ora grazie al teorema di Eulero abbiamo:

$2^{\phi(h_1)} ≡ 1 \ mod (h_1)$

Da $p-1=2^s h_1$, poi:

$2^{s+\phi(h_1)}≡ 2^s \ mod (p-1)$

Da $t≥s$ , noi abbiamo:

$2^{t+\phi(h_1)}≡ 2^t \ mod (p-1)$

Infine a causa del piccolo teorema di Fermat abbiamo:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k ≡ 2^{2^t}+k≡ 0 \ mod (p)$

Da $2^{t+\phi(h_1)}> 2^t$ allora possiamo scrivere:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k>2^{2^t}+k=p$

Quindi numero $2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k$ sarà un composto maggiore di a, perché:

$p=2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k > a$

La prova è fatta.