Prima forma fondamentale

Question

Wolfram MathWorld definisce un paraboloide e i suoi parametri differenziali come

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Ora, se questi parametri corrispondono ai coefficienti$E$,$F$e$G$qui descritto , non capisco come siano arrivati ​​all'espressione for$Q$.

Answer 1

Nonostante altri commenti/risposte, queste quantità sono la solita prima forma fondamentale. Si noti che il collegamento Wiki definisce$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Questi sono i soliti$E,F,G$, e sono i prodotti scalari delle derivate della parametrizzazione rispetto alle variabili indipendenti. Nel tuo caso il primo parametro è$u$e il secondo parametro è$v$, e in effetti lo abbiamo\begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*}Non sono sicuro del motivo per cui Wolfram usa lettere diverse.

Se vuoi un ulteriore riferimento, dai un'occhiata al mio testo sulla geometria differenziale .

Answer 2

La prima forma fondamentale è il prodotto scalare dello spazio tangente in un punto della superficie quando si considera la superficie contenuta nello spazio ambiente$\mathbb{R}^3$. Se hai un paraboloide$z=b(x^2+y^2)$, allora sono i vettori tangenti della superficie che genera lo spazio tangente

$v=[1,0, 2bx]$

e

$w=[0,1,2by]$

A questo punto i coefficienti della prima forma fondamentale possono essere calcolati come segue

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

Nel tuo link sul paraboloide, immagino che l'argomento sia una geodetica sul paraboloide.