Problemi di comprensione del calcolo di Spivak Capitolo 6 Problema 13 sulla continuità
Ho incontrato alcune difficoltà con il problema 13 del capitolo 6 del calcolo di Spivak che trattava le continuità. La domanda nel suo insieme:
(a) Dimostrare che se $f$ è continuo $[a, b]$, poi c'è una funzione g che è continua $\mathbb{R}$, e che soddisfa $g(x) = f(x)$ per tutti $x$ in $[a, b]$. Suggerimento: poiché ovviamente hai una vasta scelta, prova a mantenere g costante$(-\infty, a]$ e $[b, \infty)$.
(b) Fornire un esempio per mostrare che questa affermazione è falsa se $[a, b]$ è sostituito da $(a,b)$.
Capisco la soluzione alla parte (a) , che fornisce la seguente funzione per$g(x)$:
$$ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lim_{x \to a^+} f(x) & \mbox{if } x \le a \\ f(x) & \mbox{if } a < x < b \\ \lim_{x \to b^-} f(x) & \mbox{if } x \ge b \end{array} \right. $$
La mia interpretazione è stata quella da allora $f$ è continuo $[a,b]$, poi,
$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \\ \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) $$
Quindi, la definizione della funzione per $g(x)$ soddisfa $g(x) = f(x)$ per tutti $x$ in $[a, b]$.
Tuttavia, per la parte (b) , non capisco come l'asserzione diventi falsa solo sostituendo l'intervallo chiuso$[a, b]$ con l'intervallo aperto $(a, b)$. L'unico cambiamento che posso visualizzare è che non possiamo più fare l'affermazione iniziale che$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ e $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$. Tuttavia, non capisco come sia allora$g(x) = f(x)$ non può ancora resistere $a < x < b$.
Qualsiasi suggerimento sarebbe molto apprezzato!
Risposte
Come accennato nei commenti, $(b)$ chiede di costruire una funzione $f$ che è continuo $(a,b)$ per cui non esiste alcuna funzione $g$ soddisfacente
- $g(x)=f(x)$ per tutti $x$ in $(a,b)$.
- $g$ è continuo $\mathbb R$.
Dal momento che l'intervallo chiuso $[a,b]$ è sostituito dall'intervallo aperto $(a,b)$, la funzione $f$ non ha bisogno di essere continuo agli endpoint $a$ e $b$.
Due valide costruzioni per $f$ siamo:
$$f(x)=\frac{1}{x-a} \quad {\text{or}}\quad f(x)=\frac{1}{x-b}.$$
Entrambi soddisfano la condizione che $f$ è continuo $(a,b)$. Tuttavia, se$g(x)=f(x)$ sopra $(a,b)$ poi $g$ diventa arbitrariamente grande intorno $a$ o $b$ e quindi non può essere continua $\mathbb R$.
Prendere $f(x) =\dfrac{1}{x}$ che è continuo $(0,1)$, puoi trovare tale $g(x)$?
Il motivo per cui l'estensione funziona nella parte (a) è perché $[a,b]$ è un intervallo chiuso, e $f$ è una funzione continua, quindi
1.$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ esiste ed è finito.
2.$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
Tuttavia, se definiamo $\tan(x)$ sopra $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, quindi sia 1. che 2. sopra falliscono, poiché $$\lim_{x\rightarrow \pi/2}\tan(x)=\infty\text{ and }\lim_{x\rightarrow -\pi/2}\tan(x)=-\infty.$$Quindi, in questo tipo di casi, non può esistere alcuna estensione continua. Spero che questo aiuti.
Una funzione può essere strettamente crescente sull'intervallo $(a,b)$ e approccio $+\infty$ come $x$ approcci $b$ dal basso e avvicinati $-\infty$ come $x$ approcci $a$ da sopra.