Professionista discreto. distribuzione: binomiale
Sappiamo che per una distribuzione binomiale, quando vogliamo sapere quanti dei risultati di un evento si sono verificati piuttosto che usare un diagramma ad albero, possiamo usare selezioni o combinazioni. Ad esempio, lascia che una variabile casuale X rappresenti il numero di teste dopo che una moneta è stata lanciata tre volte, e vogliamo conoscere la prob. di teste che escono una volta.
Diremmo, Pr(X=1)= 3C1 volte ... prob. di tempi di successo prob. di fallimento.
Perché sappiamo che ci sono tre modi in cui potremmo scegliere una testa. Dal diagramma ad albero: HNN, NNH, NHN. H= teste, N= Nessuna testa.
La mia domanda è perché è corretto usare combinazioni quando è chiaro che non usiamo combinazioni per cose in cui l'ordine è importante. Qui possiamo vedere che poiché questi HNN, NNH, NHN sono tutte cose diverse che contengono lo stesso elemento di una testa e due teste, è chiaro che l'ordine conta. Perché invece non possiamo usare le permutazioni?
Risposte
Le permutazioni contano le disposizioni di oggetti distinti . Gli elementi di una sequenza di teste e code non possono essere distinti se la sequenza ha lunghezza maggiore di due.
Ad esempio, il numero di permutazioni delle lettere della parola COUNT, che ha cinque lettere distinte, è$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$e il numero di permutazioni di tre lettere delle lettere della parola COUNT è$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Invece il numero di permutazioni distinguibili delle lettere della parola DISTRIBUZIONE, in cui non tutte le lettere sono distinte, è$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$poiché dobbiamo scegliere tre delle dodici posizioni per la I, due delle restanti sette posizioni per la T, e poi disporre le sette lettere distinte D, S, R, B, U, O, N nelle rimanenti sette posizioni. Il fattore di$3!$al denominatore rappresenta il numero di modi in cui potremmo permutare gli È tra loro all'interno di una data disposizione senza produrre una disposizione che sia distinguibile dalla data disposizione; il fattore di$2!$nel denominatore rappresenta il numero di modi in cui potremmo permutare le T tra loro all'interno di un dato arrangiamento senza produrre un arrangiamento che sia distinguibile dall'arrangiamento dato.
Nel tuo esempio, usiamo le combinazioni poiché una sequenza di testa e croce è completamente determinata selezionando le posizioni delle teste, poiché le restanti posizioni della sequenza devono essere riempite da croce.
In generale, in un problema di distribuzione binomiale, definiamo uno dei risultati come un successo e gli altri come un fallimento. La probabilità di ottenere esattamente$k$successi a$n$prove, ciascuna con probabilità$p$di successo è$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$dove$p^k$è la probabilità di$k$successi,$(1 - p)^{n - k}$è la probabilità di$n - k$fallimenti e$\binom{n}{k}$conta il numero di modi quelli$k$i successi possono verificarsi in$n$prove. Si noti che scegliere quale$k$del$n$le prove sono successi determina completamente i risultati se ci sono esattamente$k$successi dal restante$n - k$le prove devono sfociare in fallimenti.