Progressioni aritmetiche di numeri primi gaussiani

Question

Dato $u\in\mathbb{C}$ e $v\in\mathbb{C}$ consideriamo la seguente progressione: $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

È possibile trovare progressioni $z_n$ generazione di numeri primi gaussiani per una lunga sequenza arbitraria di valori consecutivi di n?

Per esempio, $z_n=-13-2i+n(3+i)$ genera numeri primi gaussiani per tutti i valori $0\le n\le 8$ (esamina la norma $|z_n|^2=10n^2-82n+173$):

In caso negativo, è noto l'andamento della lunghezza massima?

Grazie molto.

Answer 1

Il teorema di Green-Tao mostra anche che ci sono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe tra i numeri primi (razionali) congruenti a 3 modulo 4. Vedi ad esempio questa domanda MO Il teorema di Green-Tao è vero per i numeri primi all'interno di una data progressione aritmetica? .

Poiché ogni numero primo razionale che è 3 mod 4 è un numero primo gaussiano, ciò mostra che i numeri primi gaussiani contengono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

(Questa è forse una classe di esempi leggermente insoddisfacente. Non so se ci sono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe di numeri primi in $\mathbf{Z}[i]$ che non sono in $\mathbf{Z}$ o $i \mathbf{Z}$.)

Answer 2

Un teorema del Tao arxiv.org/abs/math/0501314 dice: dato qualsiasi insieme finito di punti$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ ce ne sono infinitamente tanti $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ tale che tutto $a+rv_i$sono numeri primi gaussiani. Scegliere una forma di due linee parallele, diciamo$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$, mostra che ci sono anche lunghe progressioni di numeri primi gaussiani non tutti sulla linea reale, (che risponde anche alla domanda lasciata aperta da David). Si potrebbero anche prendere linee, diciamo, con un angolo di 45 gradi.