Proprietà del prodotto scalare

Aug 20 2020

Voglio dimostrare o contraddire la seguente affermazione:

Se prendiamo due vettori$\mathbf{v}_1$e$\mathbf{v}_2$in$\mathbb{R}^{d}$($d$non è necessariamente 2, quindi le dimostrazioni geometriche non sono disponibili) e l'angolo tra loro è definito da$\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$vale quanto segue:

  1. Per qualsiasi vettore$\mathbf{u}$st$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$se indichiamo$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$e$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$otterremo$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
  2. Per qualsiasi vettore$\mathbf{u}$st$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$se indichiamo$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$e$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$otterremo$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Sono abbastanza fiducioso che quanto sopra valga, dal momento che ho eseguito molte simulazioni numeriche e sembra reggere, cioè credo che l'affermazione debba essere provata e non contraddetta.

Ho tentato di utilizzare la definizione algebrica di coseno con alcuni trucchi algebrici (disuguaglianza triangolare ecc.) E non ha funzionato, lo stesso con la disuguaglianza generalizzata del coseno (per i vettori).

Risposte

2 user1551 Aug 20 2020 at 01:24

Entrambe le affermazioni sono false. Dal momento che possiamo ottenere un reclamo dall'altro sostituendo$u$di$-u$, è sufficiente confutare la prima affermazione.

Scegli due vettori linearmente indipendenti$u$e$v_1$tale che$v_1^Tu>0$. . . . Permettere$v_2=2v_1$. . . . Quindi$v_2^Tu>0$ma$$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$Per un controesempio concreto, let\begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned}Quindi$$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$e quindi$$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$Disturbando$v_2$leggermente lungo una direzione normale a se stessa, si può anche ottenere un controesempio in cui$v_1$e$v_2$non sono linearmente dipendenti.