Prova che$f(W)$è il grafico di$y_{n+1} = \varphi(y_1,\cdots,y_n)$
Permettere$f: U \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n+1}$essere di classe$C^k,k\geq 1,$e$U$aprire. Se per ogni$x\in U$,$$f(x) = (f_1(x),\cdots, f_{n+1}(x)) \text{ and }\det\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg)_{1\leq i,j \leq n} \neq0,$$poi, per ogni$x\in U$, esiste un quartiere$W\subseteq U$di$x$tale che$f(W)$è il grafico di a$C^k$funzione$y_{n+1} = \varphi (y_1,\cdots,y_n)$.
Dicendo che$f(W)$è il grafico di$\varphi$equivale a dire che i seguenti insiemi sono uguali:
$\{(f_1(x),\cdots,f_{n+1}(x)): x\in W\} = \{((y_1,\cdots,y_n,\varphi(y_1,\cdots,y_n)): (y_1,\cdots,y_n)\in \text{Domain of $\varfi$}\}$.
In altre parole, devo dimostrare che localmente esiste una funzione$\varphi$a seconda delle coordinate precedenti$f_1,\cdots,f_n$.
La prima cosa che ho notato è che$f'(x)$è una trasformazione lineare iniettiva. In effetti, abbiamo$n = \dim \ker f'(x) + \dim \text{im}f'(x) \geq n + \dim \ker f'(x) \geq n \implies \dim\ker f'(x) =0,$da$f'(x)$ha almeno$n$rette linearmente indipendenti.
Ora non so come procedere esattamente. Inizialmente, mi chiedevo di utilizzare il teorema di immersione locale (poiché$f'(x)$è iniettivo), ma non riuscivo a vedere un modo per usare questo teorema per esprimere$f_{n+1}$nei termini degli altri.
Ho considerato anche la funzione$\pi:\mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R^n, (x_1,\cdots, x_{n+1}) \mapsto (x_1,\cdots, x_n).$
Così,$\pi(f(x)) = (f_1(x),\cdots,f_n(x)).$Scrivere$g = \pi \circ f$, sua derivata$g'(x)$è invertibile, quindi è un diffeomorfismo locale con inverso$h$. Perciò,$\pi \circ f \circ h = g \circ h = I_d$e noi abbiamo$\pi(f(h(x_1,\dots,x_n) ) = (x_1,\cdots,x_n).$Se potessi "sbarazzarmi" di$\pi$in qualche modo, questa equazione me lo darebbe$f(h(x_1,\cdots,x_n)) = (x_1,\cdots,x_n,\varphi(x_1,\cdots,x_n))$ed è quello che dobbiamo mostrare. Ma non riesco a trovare un modo chiaro per dirlo o giustificarlo.
Qualche intuizione, suggerimento? Grazie.
Risposte
Sei molto vicino alla verità.
Indicherò i punti$y\in{\mathbb R}^{n+1}$di$(y',y_{n+1})$insieme a$y'=(y_1,\ldots, y_n)$, e lascia$\pi:\>{\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}^n$essere la proiezione dimenticando l'ultima coordinata.
Scegli un punto arbitrario$p\in U$, e lascia$f(p)=:q=(q',q_{n+1})$. Dal momento che abbiamo ovunque$${\rm det}\left({\partial f_i\over\partial x_k}\right)_{1\leq i,\,j\leq n}\ne0$$c'è un quartiere$W$di$p$tale che la mappa$$f':=\pi\circ f=(f_1,f_2,\ldots, f_n)$$mappe$W$diffeomorficamente su un quartiere$V\subset{\mathbb R}^n$del punto$q'\in{\mathbb R}^n$. C'è un$C^1$-inverso$$g:=\bigl(f'\bigr)^{-1}:\quad V\to W\ .$$Il$C^1$funzione$$\phi:=f_{n+1}\circ g:\quad V\to{\mathbb R}$$dà per ogni punto$y'\in V$l'ultima coordinata$y_{n+1}$di un punto$y=(y',y_{n+1})\in{\mathbb R}^{n+1}$. Il grafico di questo$\phi$è l'insieme$${\cal G}=\bigl\{\bigl(y',\phi(y')\bigr)\in{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\bigm| y'\in V\bigr\}\ .$$Notare che$f(W)=(f\circ g)(V)$. Da$$(f\circ g)(y')=\bigl((f'\circ g)(y'),(f_{n+1}\circ g)(y')\bigr)=\bigl(y',\phi(y')\bigr)\qquad(y'\in V)$$ne consegue infine che in effetti$f(W)={\cal G}$.