Prova che lo spazio tangente è uno spazio vettoriale?
A partire da queste definizioni
Una curva su un collettore$\mathcal M$ è un liscio (es $C^{\infty}$) carta geografica $\sigma $ da qualche intervallo aperto $(-\epsilon,\epsilon)$ della linea reale in $\mathcal M$
Due curve $\sigma_1$ e $\sigma_2$sono tangenti in un punto $p$ in $\mathcal M$ se una) $\sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p$ e (b) in qualche sistema di coordinate locali $(x^1,x^2,\ldots,x^m)$ in giro $p$, due curve sono tangenti nel senso usuale delle curve in $\mathbb R^m$, $$ (x^i \circ \sigma_1)'(0) = (x^i \circ \sigma_2)'(0) $$ Qui, $i=1,\ldots,m$
Il vettore tangente è definito come la classe di equivalenza delle curve in$\mathcal M$dove la relazione di equivalenza tra due curve è che sono tangenti nel punto $p$.
Lo spazio tangente è$T_p\mathcal M$ per $\mathcal M$ al punto $p$è l'insieme di tutti i vettori tangenti nel punto$p$
Sto cercando di dimostrare lo spazio tangente nel punto $p$ in un collettore $\mathcal M$ è uno spazio vettoriale.
Sto iniziando con $v_1 \in T_p\mathcal M$, e $v_2 \in T_p\mathcal M$e ho le seguenti definizioni $$ v_1 + v_2 := [\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )] \\ r \ v_1 := [\phi^{-1}\circ \ (r \phi\ \circ \sigma_1)]\ \forall r \in \mathbb R $$
Lo voglio dimostrare $v_1 + v_2 \in T_p \mathcal M$ e $r \ v_1 \in T_p \mathcal M$
Come $v_1 ,v_2 \in T_p\mathcal M$, poi $$ \sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p $$
Ora, per $v_1 + v_2$ essere un vettore in $p$ , $\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = p$ $$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1} \ (\phi\ ( \sigma_1(0)) + \phi\ (\sigma_2(0)) ) \\ = \phi^{-1}((\phi\ ( p) + \phi\ (p) )) \\ = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) \neq p $$
Non riesco a provare le relazioni di chiusura partendo dalle definizioni, cosa sto sbagliando?
Modificare:
Il libro che sto seguendo "Isham, Chris J. Geometria differenziale moderna per i fisici. Vol. 61. World Scientific, 1999." , prende un grafico speciale$(U,\phi)$ tale che $\phi(p) = \mathbf 0 \in \mathcal M$, utilizzando questa scelta
$$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) = \phi^{-1}(0) = p $$Quindi, la chiusura è dimostrata in aggiunta. Ma questo grafico è una scelta speciale. Ma le definizioni valgono per qualsiasi grafico in giro$p$, quindi un'altra scelta di grafici dovrebbe dare lo stesso risultato.
Risposte
Vettori tangenti a $p \in M$ sono classi di equivalenza di curve morbide $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ tale che $\sigma(0) = p$ ("curve morbide in $M$ attraverso $p$"). Qui $\epsilon = \epsilon (\sigma)$è un parametro che può variare da curva a curva. La relazione di equivalenza è data da$\sigma_1 \sim \sigma_2$ Se $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$per qualche grafico$\phi$ in giro $p$. È facile verificarlo$\sigma_1 \sim \sigma_2$ iff $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$per tutti i grafici$\phi$ in giro $p$.
Data una curva morbida $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ attraverso $p$, puoi ovviamente definire $r \cdot \sigma : (-\epsilon/\lvert r \rvert,\epsilon/\lvert r \rvert) \to M, (r \cdot \sigma)(t) = \sigma (rt)$. Purtroppo non esiste una definizione simile di$\sigma_1 + \sigma_2$ per le curve $\sigma_i$ in $M$ trogolo $p$. Provi ad aggiungerli tramite la definizione$$\sigma_1 + \sigma_2 = \phi^{-1}(\phi\sigma_1 + \phi \sigma_2).$$ Questo sfrutta il fatto che il grafico $\phi : U \to V \subset \mathbb R^n$ assumere valori $\mathbb R^n$, ma in generale non funziona perché non puoi esserne sicuro $\phi\sigma_1(t) + \phi \sigma_2(t) \in V$ per $\lvert t \rvert$sufficientemente piccolo. Nemmeno$\phi\sigma_1(0) + \phi \sigma_2(0) = \phi(p) + \phi(p) = 2\phi(p)$ è generalmente contenuto in $V$.
La soluzione è considerare solo i grafici in modo tale $\phi(p) = 0$. Questo può sempre essere ottenuto se sostituiamo un grafico arbitrario$\phi$ di $T\phi$ dove $T$ è la traduzione di $-\phi(p)$. Lo stesso vale per la tua definizione di$r \cdot \sigma$.
In questo modo, vedrai che ottieni in effetti la struttura di uno spazio vettoriale $T_p M$. Formalmente suggerisco di procedere come segue:
Dimostralo $\phi_* : T_pM \to T_0V, \phi_*([\sigma]) = [\phi\sigma]$, è una biiezione.
Dimostralo $T_0V$ diventa uno spazio vettoriale tramite $[\tau_1] + [\tau_2] = [\tau_1 + \tau_2]$ e $[r \cdot \tau] = [r \cdot \tau]$, dove $(\tau_1 + \tau_2(t) = \tau_1(t)+ \tau_2(t)$ e $(r \cdot \tau)(t) = r \cdot \tau(t)$. Nota che esiste sempre un intervallo massimo su cui$\tau_1(t)+ \tau_2(t) \in V$ e $r \cdot \tau(t) \in V$; prendiamo questi intervalli come i domini di$\tau_1 + \tau_2$ e $r \cdot \tau$. È quindi facile vedere che la mappa$\mathbb R^n \to T_0V, v \mapsto \tau_v$ con $\tau_v(t) = tv$, fornisce un isomorfismo degli spazi vettoriali che lo mostra $\dim T_0V = n$.
Osservalo $\phi_*$ induce una struttura unica di uno spazio vettoriale su $T_pM$ tale che $\phi_*$ diventa un isomorfismo di spazi vettoriali.
A prima vista sembra che la struttura dello spazio vettoriale sia attiva $T_pM$ dipende dalla scelta di $\phi$. Il passaggio finale sarà quindi quello di dimostrare che due grafici qualsiasi$\phi_1, \phi_2$ in giro $p$ con $\phi_i(p) = 0$ produrre la stessa struttura dello spazio vettoriale su $T_pM$.