Prova che sequenze metriche di Cauchy = sequenze seminorma-Cauchy su spazi di Fréchet?
Sto cercando di dimostrare la seguente affermazione dal libro Spectral Theory and Quantum Mechanics di V. Moretti:
Una sequenza $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ è Cauchy per una certa distanza $d$ in uno spazio metrisable localmente convesso $X$ se e solo se è Cauchy per ogni seminario $p$ generazione della topologia: per ogni $\epsilon > 0$ c'è $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ tale che $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ ogni volta $n,m > N_\epsilon^{(p)} $. Di conseguenza, la completezza non dipende effettivamente dalla distanza utilizzata per generare la topologia localmente convessa.
Come possiamo dimostrarlo?
Se una sequenza è Cauchy per $d$, poi alla fine si troverà in una palla $B_{d,\delta}(x)$ per ogni $\delta>0.$ In qualche modo dobbiamo usare questo fatto per dimostrare che alla fine si troverà in una palla $B_{p,\epsilon}(y)$ per qualsiasi fisso $p\in P,\epsilon>0.$ Sono sicuro che il risultato dipenderà $d$ e $P$generando le stesse topologie, ma non vedo come collegare i due. Possiamo sempre annidare un set aperto alla metrica in un set aperto al seminario e viceversa, ma questo non mi porta ancora a una soluzione ovvia.
Questo post contiene una prova che la completezza di qualsiasi metrica che genera la stessa topologia di$P$garantisce la completezza di tutte queste metriche. Ma l'affermazione qui coinvolge seminormi, quindi non è un'affermazione equivalente, da quello che posso dire.
Risposte
Suppongo che la metrica sia invariante di traduzione. Permettere$(x_n)$ essere Cauchy nella metrica e $\epsilon >0$. Se$p$ è quindi una semi norma che genera la topologia $\{x: p(x) <\epsilon\}$ contiene un tutto aperto $B_d(0,\delta)$. Per$n,m$ sufficientemente grande $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ e quindi $p(x_n-x_m) <\epsilon$.
Converse segue dal fatto che $B_d(0,\epsilon)$ contiene un insieme del tipo $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ per un numero intero positivo $N$, alcuni numeri positivi $\epsilon_i$ e alcuni $p_i$'S.