Prova della Proposizione 11.20 di Atiyah-Macdonald

Aug 17 2020

Faccio fatica a verificare la disuguaglianza dell'ordine dei poli asserita nella dimostrazione della proposizione 11.20. (La dichiarazione completa e la prova della proposizione possono essere trovate qui: Atiyah-Macdonald 11.20 e 11.21 )

La mia domanda è: come dimostrare questa disuguaglianza?

Trovo diverse risorse online che trattano vari problemi del libro, ma non trovo nulla su questo particolare problema. Penso che sarebbe utile che anche qualche riferimento a questo sia reso disponibile, poiché una risposta perspicace potrebbe essere utile a chiunque cerchi di imparare l'argomento da questo libro.

Nel caso sia di interesse, ho basato i miei sforzi sui seguenti presupposti aggiuntivi:

  1. $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ deve riferirsi all'ordine dei poli come l'altro $d$ (il grado del polinomio caratteristico) è definito solo per gli anelli locali.
  2. La struttura graduata di questo anello è $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, dove $\bigoplus A_n$ è la classificazione standard di $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.

EDIT: Immagino che il problema non sia abbastanza chiaro a meno che non si sia abbastanza approfonditi nel libro, quindi fornirò un breve riassunto dei risultati rilevanti trovati nel Capitolo 11 fino a (11.20): Per un anello graduato noetheriano$A$ generato come file $A_0$-algebra di $s$ elementi omogenei di grado 1, Teorema (11.1) afferma che la serie di Poincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ di qualsiasi classificazione finitamente generata $A$-modulo $M$ ha un polo dell'ordine $d(M)\leq s$ a $t=1$. Questo dà un limite superiore per$d(A)$ durante l'assunzione $M=A$. La disuguaglianza in (11.20), tuttavia, introduce un limite inferiore per$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Un limite inferiore dell'ordine polare si trova all'inizio del testo solo sotto forma di uguaglianza, vale a dire nel caso molto specializzato in cui l'anello graduato è l'anello graduato associato$G_\mathfrak{q}(A)$ di un anello locale noetheriano $A$wrt. un$\mathfrak{m}$-ideale primario $\mathfrak{q}$ [l'ordine dei poli di $G_\mathfrak{q}(A)$ è in questo caso uguale a dim $A$]. Quindi la difficoltà sta nella mancanza di risultati per determinare i limiti inferiori dell'ordine polare.

Risposte

1 rndnr562 Aug 23 2020 at 11:34

Permettere $\bigoplus A_n$ essere la classificazione standard di $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. L'omomorfismo degli anelli graduati$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ è surjective e ha kernel $(\bar{f})$, quindi $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ è una classificazione di $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ induce una mappa $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ da $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, e così otteniamo i seguenti omomorfismi suriettivi di anelli graduati: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Nota che $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ e $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ siamo $A/\mathfrak{q}$-moduli per tutti $n$ (supponendo $s > 0$), e da allora deve avere una lunghezza finita $A/\mathfrak{q}$è Artin. Da$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ è l'immagine omomorfica di $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, abbiamo anche quello $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Infine osservalo da allora$\bigoplus A_n$ viene generato come file $A/\mathfrak{q}$-algebra di $t_1,\dots,t_d$, gli altri due anelli sono generati dalle rispettive immagini di questi. Poiché queste immagini sono tutte omogenee di grado 1, otteniamo da (11.2) quella per tutte le grandi$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ è un polinomio $g(n)$ di grado $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ e $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ è un polinomio $h(n)$ di grado $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Da allora$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ per tutti i grandi $n$, dobbiamo averlo $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, così $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ che dimostra la disuguaglianza.