Prova riguardante l'immagine inversa di una funzione

Question

Permettere $f: X \rightarrow Y$ essere una funzione e lascia $B$ essere un sottoinsieme di $Y$.

Prova che $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$, e se $f$è suriettiva, allora vale l'uguaglianza. Mostra con l'esempio che l'uguaglianza non deve valere se$f$ non è suriettivo.

Tentativo di una soluzione:

Riscrittura $f(f^{-1}(B)) = \{f(t) :t \in f^{-1}(B)\}$ che dovrebbe essere un sottoinsieme di $B$ se lo sappiamo $f(f^{-1}(t) = t$ che credo valga solo per una biiezione?

Answer 1

Permettere $u\in f(f^-(B))$

Poi $\exists b'\in f^-(B)$ tale che $f(b')=u$

$ \Rightarrow u=f(b')\in B$

Così $f(f^-(B)) \subseteq B$

Permettere $f$ essere surjective e $b\in B$

Poi $\exists a \in f^-(B)$ tale che $f(a)=b$

Chiaramente $b\in f(f^-(B))$ e così $B\subseteq f(f^-(B))$

Così $f(f^-(B))=B$ quando $f$ è suriettivo.

Permettere $X=Y=\mathbb{R}$ e $f(x)=x^2$.

Poi $f$ non è suriettivo.

Permettere $B=[-1,\infty)$

Poi $f^-(B)=\mathbb{R}$ e $f(f^-(B))=[0,\infty) \subsetneq B$

In generale se $f:X\to Y$ non è suriettivo allora $\exists y\in Y$ in modo tale che non abbia pre-immagine in $X$

Prendere $B=f(X) \cup \{y\}$

Allora questo soddisferà le condizioni.