Pseudoinversa di una matrice diagonale
Sia matrice$A \in \Bbb R^{n \times n}$avere$k$elementi diagonali, dove$k < n$, e il resto degli elementi sono zero. Sto cercando di trovare lo pseudoinverso di$A + \lambda I$quando$\lambda$si avvicina allo zero.
Quindi$\frac{1}{a_i + \lambda}$sarebbero gli elementi diagonali per$i$passando da 1 a$k$della pseudo inversa e$\frac{1}{\lambda}$sarebbe il resto degli elementi diagonali. Se metto$\lambda$uguale a zero allora lo pseudo inverso sarebbe una matrice con elementi di$A$matrice invertita, ma ci sarebbero elementi che vanno all'infinito. Ma non suona bene. Cosa c'è di sbagliato in questa logica?
Risposte
Il problema è che la pseudo inversa non è una funzione continua sullo spazio delle matrici come esattamente hai mostrato. Considera la matrice 1d$(x)$per$x\in\mathbb R$. Quindi la mappa pseudo-inversa è$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Questo non è un continuo a zero, quindi non ci aspetteremmo che conservi un limite di un elemento a zero. Lo stesso accade con il tuo esempio quando ci limitiamo al kernel di$A$.