Può 1 chilogrammo di materiale radioattivo con un'emivita di 5 anni decadere nel minuto successivo?
Me lo sono chiesto da quando il mio insegnante ci ha parlato dell'emivita dei materiali radioattivi a scuola. Mi sembra intuitivo pensare in questo modo, ma mi chiedo se ci sia una spiegazione più profonda che mi smentisca.
Quando sono coinvolti molti atomi, l'emivita può reggere statisticamente, ma poiché il decadimento di un singolo atomo è completamente casuale e senza stato, non tutti gli atomi in un kg di materia possono decidere di decadere nel minuto successivo, anche se la probabilità di questo evento che si verifica è estremamente piccolo?
Risposte
La risposta breve è sì . Non importa quanti atomi ci siano, c'è sempre una possibilità (a volte incredibilmente piccola) che tutti loro decadano nel minuto successivo. La risposta divertente è in realtà vedere quanto piccola diventa questa probabilità per un gran numero di atomi.
Prendiamo iodio-131 , che ho scelto perché ha una ragionevole emivita di circa$8$ giorni = $\text{691,200}$secondi. Adesso$1$ kg di iodio-131 avranno intorno $7.63 \times N_A$ atomi in esso, dove $N_A$è la costante di Avogadro. Usando la formula per la probabilità per il decadimento di un atomo nel tempo$t$:
$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$
e assumendo che tutti i decadimenti siano statisticamente indipendenti$^\dagger$, la probabilità che tutti gli atomi siano decaduti in un minuto è:
$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$
dove $\lambda$ è la costante di decadimento, uguale a $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, in questo caso, quasi esattamente $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. Così$$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$
(Ho scelto iodio-131 come esempio concreto, ma praticamente qualsiasi atomo radioattivo risulterà in una probabilità simile, indipendentemente dalla massa o dall'emivita.) Quindi se hai eseguito questo esperimento su $10^{1.94\times10^{25}}$tali configurazioni, ti aspetteresti che tutti gli atomi decadano in una delle configurazioni, in media.
Per darti un'idea di quanto sia incomprensibilmente grande questo numero, ci sono "solo" $10^{78}$ atomi nell'universo - questo è $1$ seguito da $78$ zeri. $10^{1.94\times10^{25}}$ è $1$seguito da oltre un milione di miliardi di miliardi di zeri. Preferisco di gran lunga scommettere sui cavalli.
$^\dagger$ Questo modello di distribuzione di Poisson è un'approssimazione semplificante, ma forse rozza in questo scenario, poiché anche piccole deviazioni dall'indipendenza statistica possono sommarsi a grandi fattori di soppressione dato il numero di atomi, e così $10^{1.94\times10^{25}}$ è certamente un limite superiore (ovviamente, l'approssimazione è pienamente giustificata se gli atomi sono separati all'infinito in $0 \text{ K}$, oppure i loro prodotti di decadimento non hanno energia sufficiente per produrre più di a $1/N_A$-cambiamento di ordine nella probabilità di decadimento di altri atomi). Un'analisi più dettagliata dovrebbe essere adattata specificamente all'isotopo in esame, oppure si potrebbe fare un'approssimazione di ordine successivo rendendo costante il decadimento$\lambda$una funzione del tempo strettamente crescente . Siate certi che la vera probabilità, sebbene molto più difficile da calcolare di questa stima arretrata, continuerà a funzionare nel vasto territorio di$1$ nel $1$ seguito da diversi trilioni di zeri.
TLDR: i modelli statistici sono modelli e quindi per definizione non un riflesso perfetto della realtà.
La risposta di Nihar è buona, ma la affronterò da una direzione diversa.
Prima di tutto, se guardiamo solo alla meccanica statistica, puoi eseguire i calcoli e, naturalmente, troverai una probabilità estremamente piccola. Potresti fermarti qui. Ma la meccanica statistica utilizza modelli statistici e tutti i modelli sono sbagliati. Fanno ipotesi e semplificano necessariamente la realtà per risolvere problemi complicati. Potrebbero benissimo esserci alcuni processi fisici non spiegati nella meccanica statistica che negano ogni possibilità di un decadimento così rapido.
Un classico esempio è avere una stanza e capire la probabilità che tutto l'ossigeno all'improvviso sia solo in una metà della stanza. Dal punto di vista della meccanica delle statistiche, è fondamentalmente la probabilità di lanciare una moneta equa un numero inimmaginabilmente grande di volte e di farle atterrare tutte allo stesso modo. Ma in realtà, il numero inimmaginabilmente piccolo che calcoleresti non sarebbe effettivamente corretto, perché le ipotesi fatte dal tuo modello non rifletterebbero perfettamente la realtà (le particelle interagiscono tra loro, per esempio). Proprio come la legge dei gas ideali, queste cose sono utili ma possono fallire completamente se ci si allontana troppo dalle ipotesi fatte. Questo è vero per tutti i modelli statistici, ovviamente.
Quindi, se assumiamo che il modello statistico dell'emivita sia una rappresentazione completamente accurata della realtà, la risposta alla tua domanda è tecnicamente sì. Ovviamente sappiamo che non lo è, quindi questo mi porta al punto finale.
C'è anche una pesante componente filosofica in questo tipo di domande poiché abbiamo a che fare con probabilità così piccole da essere effettivamente 0. Se qualcuno lancia una moneta un miliardo di volte e esce croce ogni volta che nessuno penserà che sia una moneta giusta , perché ovviamente non è *. Potresti anche prendere in considerazione la crittografia all'avanguardia. Le probabilità di indovinare con successo una chiave in modo casuale sono così basse che a tutti gli effetti è 0. Oppure immagina di guardare un video di un mucchio di vetro frantumato che si forma in un vaso. La tua conclusione non sarebbe "ci vediamo termodinamica, non vorrei essere te", ma "sto guardando un video di un vaso che va in frantumi al contrario". Sì, ci sono probabilità tecnicamente minime associate a questi eventi, ma è così piccolo che dire che sono tecnicamente possibili è più un'affermazione filosofica che altro.
* L'idea di una moneta equa è di per sé una tana di coniglio. Come determini che una moneta è giusta? Lanciarlo un mucchio di volte e osservando un numero quasi uguale di code e teste. Se devia troppo da 50/50, dichiariamo che è di parte. Ma ovviamente non importa quale risultato osserviamo, c'è sempre la possibilità che fosse una moneta equa, quindi tecnicamente non possiamo mai saperlo con certezza. Per poter utilizzare le statistiche, quindi, dobbiamo scegliere arbitrariamente un punto limite per il caso casuale. Di solito questo è 2 sigma, forse 3. Il CERN usa 5 sigma per il rilevamento di nuove particelle ma, ancora una volta, questo è arbitrario. La statistica applicata è tanto un'arte quanto una branca della matematica.
Una cosa da tenere a mente è che questa non è solo una questione statistica e l'analogia degli atomi che decadono e che lanciano monete può essere fuorviante.
Ad esempio, l' uranio 235 ha un'emivita di oltre 700 milioni di anni, ma quando portato nella giusta configurazione (confezionamento chiuso) e nella giusta quantità (sopra la massa critica), decade praticamente in un istante ... Semplicemente perché uno il decadimento di un atomo può innescare il decadimento di un altro e così via in una reazione a catena.
Quindi, se puoi presumere che tutti i decadimenti avvengano indipendentemente l'uno dall'altro, allora le risposte basate esclusivamente sulle statistiche sono valide. Se è coinvolta più fisica che statistica, allora dipende dal materiale esatto, cioè da quale materiale è puro, in quale configurazione, ecc.
La risposta è no'. Questo "no" è allo stesso livello di:
- Può succedere che galleggi per 15 minuti al centro della tua stanza. (La meccanica statistica dice tecnicamente sì, ma ancora una volta con una probabilità zero per tutti gli scopi pratici)
- Puoi mettere una scimmia davanti a una macchina da scrivere e tirarci fuori i romanzi di Shakespeare?
- Riesci a camminare attraverso un muro solido (probabilità di tunnel diversa da zero a causa della meccanica quantistica)
Affinché ciò avvenga nel mondo reale, è necessario iniziare con circa 3,8 milioni di chilogrammi di quel materiale.
Ecco come trovi quel numero. Si parte dalla formula che collega l'emivita al numero di particelle nel tempo
$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$
Ora sostituisci $N(t)$ con quello che vorresti avere $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ E risolvi per $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ A questo punto è solo questione di collegare $t=60~\text{s}$ e $t_{1/2}=5~\text{y}$.
Vedo che le persone su questo sito sembrano per lo più pensare che puoi semplicemente moltiplicare i numeri insieme per ottenere le probabilità, e quindi la risposta è che la probabilità è qualcosa di ordine $10^{-10^{25}}$.
Il problema è che gli eventi di decadimento non sono eventi del tutto indipendenti, quindi questo metodo di calcolo è sbagliato. Va bene come prima approssimazione molto MOLTO approssimativa, e la risposta sarà certamente un numero minuscolo, ma la risposta non sarà questo particolare numero minuscolo. Vedrai leggendo perché ho messo il secondo "molto" in maiuscolo.
Ci sono effetti cooperativi in tutta la fisica. Ad esempio, nel solido in decomposizione le particelle emesse da un nucleo qualsiasi disturberanno gli altri. Questo è un effetto minuscolo, ma quando consideriamo eventi di minima probabilità dobbiamo pensare a tali effetti minuscoli. Un altro fattore è il campo elettromagnetico circostante, che può essere in uno stato termico, ma anche nel suo stato di vuoto produce effetti correlati in tutto il campione. I campi elettromagnetici non hanno quasi alcun effetto sul decadimento radioattivo, ma tutto ciò che può interessare tutti i nuclei contemporaneamente avrà un'influenza non trascurabile rispetto ai piccolissimi numeri che emergono da ogni ipotesi che tutti i nuclei si comportino in modo indipendente.
Diamo una sensazione approssimativa per l'influenza di questi effetti cooperativi. Per$n$ eventi indipendenti, ciascuno di probabilità $p_0$, la probabilità complessiva è $p_0^n$. Ma supponiamo che se si verifica un evento, la probabilità per gli altri aumenti leggermente da$p_0$ per $p_1 = p_0(1 + \epsilon)$ per alcuni molto piccoli $\epsilon$. Se quegli ulteriori eventi fossero indipendenti, ora la probabilità complessiva è di ordine$p_0 p_1^{n-1}$. Questo è più grande di$p_0^n$ dal rapporto $$ \frac{p_0 (p_0 + \epsilon p_0)^{n-1}}{p_0^n} = (1 + \epsilon)^{n-1} $$ Con $n$ dell'ordine del numero di Avogadro, puoi vedere che i valori di $\epsilon$ dell'ordine di $1/N_A$ basterebbe introdurre un aumento non trascurabile della probabilità complessiva, dove per "non trascurabile" intendo "con un fattore di ordine $1$". Ma la probabilità complessiva rimane minima.
Quello era solo un atomo che influenzava gli altri. Se ognuno di essi ha quel tipo di effetto, uno ottiene il$(1 + \epsilon)$ fattore elevato a potere dell'ordine $N_A^2$. Quindi con questo tipo di argomento il numero$10^{-10^{25}}$ con cui ho iniziato è sbagliato per un fattore che potrebbe facilmente essere grande quanto $2^{N_A}$. Non sto cercando di affermare l'imprecisione con alcuna cura. Sto solo dicendo che il calcolo basato su$N_A$ processi indipendenti danno una risposta finale che è sbagliata di un fattore enorme.
Consideriamo ora una sorta di effetto cooperativo come una fluttuazione nel campo elettromagnetico sufficiente a stimolare tutti i nuclei, sufficiente a farli superare la barriera energetica in modo che l'elettrone o la particella alfa o qualsiasi altra cosa possa sfuggire. Per disturbare i nuclei occorrono energie dell'ordine dei megaelettronvolt, mentre a temperatura ambiente la radiazione termica ha fotoni di energie dell'ordine$k_B T \simeq 0.026$eV. Ma se ci fidiamo del fattore Boltzmann, potremmo stimare approssimativamente una possibilità di$\exp(-E/k_B T)$ per ottenere l'eccitazione di una modalità di energia $E$. Con$E = 1$ MeV che dà $\exp(-4 \times 10^7)$a temperatura ambiente. Con "tutti questi" fotoni di raggi gamma in giro, il processo di decadimento radioattivo avverrà in modo leggermente diverso. Ovviamente questa probabilità è ancora minuscola, ma è molto maggiore di$10^{-10^{25}}$, quindi deve essere preso in considerazione prima di annunciare che quest'ultimo numero è anche vicino alla destra. Questo perché anche la più piccola quantità di qualsiasi tipo di correlazione o effetto cooperativo sarà sufficiente per sopraffare la probabilità di più eventi indipendenti.
Si potrebbe stimare l'effetto di questi raggi gamma termici scoprendo la sezione trasversale per il decadimento stimolato dalla gamma ed eseguendo un calcolo di diffusione. Non conosco la risposta ma sarà enorme rispetto a$10^{-10^{25}}$.
In sintesi, la risposta breve alla domanda posta in origine è "no, non può succedere". La risposta più lunga quindi ammette che la fisica suggerisce che esiste una probabilità molto piccola diversa da zero che possa accadere, proprio come per una serie di altri eventi bizzarri. Per il valore della probabilità, nessun calcolo rapido può avvicinarsi nemmeno al giusto ordine di grandezza. Per stimarlo, prima si fa il calcolo del decadimento indipendente per assicurarsi che quella non sia la via più probabile per la quale potrebbe accadere. Quindi rimane il problema molto più difficile di pensare che tipo di effetti fisici possono causare il decadimento di più nuclei contemporaneamente e stimarli. Penso che la risposta debba essere piccola rispetto a quel numero$\exp(-4 \times 10^7)$che ho menzionato sopra, ma ho poca idea di cosa sia realmente la probabilità. Forse a partire da$10^{-10^{10}}$?
Forse potrebbe essere utile ribadire il punto che sto facendo. Quando calcoliamo scenari fisici più ordinari, come un corpo che scivola lungo un pendio o un pendolo o un atomo ecc., Ignoriamo correttamente qualsiasi effetto trascurabile come l'attrazione gravitazionale verso pianeti lontani anni luce o altre cose simili, e ci concentriamo sul principale contributo. In modo simile, nel caso presente un approccio corretto riconoscerà semplicemente come trascurabile il contributo alla probabilità dovuto al fatto che tutti i nuclei stanno semplicemente decadendo nello stesso minuto, e si concentrerà sulle probabilità molto più grandi associate ad altri modi in cui il il risultato può accadere. Un calcolo che non lo fa è, semplicemente, sbagliato. È come affermare che un tempo è dell'ordine di 1 femtosecondo quando in realtà è dell'ordine di 1 petasecondo. Questa non sarebbe considerata una stima ragionevole, ma semplicemente sbagliata, e da un fattore imbarazzante.
Se vogliamo capire cosa succede nei processi del mondo reale, al contrario dei modelli idealizzati, allora i processi del mondo reale sono ciò a cui dobbiamo pensare.
Infine, voglio ribadire che gli effetti che ho citato sono davvero incredibilmente piccoli. Ma in confronto a$10^{-10^{25}}$ sono enormi.
@Nihar ha un'ottima risposta: è possibile ma con una possibilità di 1 in $10^{1.94\times10^{25}}$
Questo è un numero davvero elevato. Quando si utilizzano esponenti che devono essere rappresentati con i propri esponenti, a volte può essere difficile pensare a cosa significano effettivamente. per qualche prospettiva:
- Ci sono circa $5\times10^{19}$ atomi in un granello di sabbia
- Ci sono circa $8\times10^{18}$ granelli di sabbia nel mondo
- Si tratta di $4\times10^{38}$ atomi in tutta la sabbia del mondo
- Ci sono circa $1.33\times10^{50}$ atomi di tutti i tipi nel mondo
- Ci sono circa $10^{56}$ atomi nel sistema solare
- Ci sono tra $10^{78}$ e $10^{82}$ atomi nell'universo
Utilizzando la stima più grande di $1\times10^{82}$atomi nell'universo, siamo passati da un esponente di 19 a 82 confrontando un granello di sabbia e l'intero universo. Questo esponente è 1.940.000.000.000.000.000.000.000.000.
Quante prove dovremmo fare per avere una ragionevole possibilità che ciò accada? La formula per capire le probabilità che un evento casuale accada almeno una volta è$1-(1-P)^y$ dove P è la probabilità $1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. Non sono riuscito a trovare alcuna app che desse risultati sensati con valori elevati per y, ma se y = P le probabilità si avvicinano${-(1-e)}/e$man mano che P diventa grande. Si tratta di circa il 63,2%. Quindi se lo facciamo$10^{1.94\times10^{25}}$ prove, c'è circa il 63,2% di probabilità che accada almeno una volta e circa il 37,8% di probabilità che non accada affatto.
Allora come possiamo immaginare di fare $10^{1.94\times10^{25}}$ prove?
Se prendiamo tutti gli atomi dell'universo e li cambiamo tutti in fasci separati da 1 kg di iodio-131, avremmo circa $2.2\times10^{57}$di loro. Distribuito sul volume dell'universo visibile ($3.57\times10^{80} m^3$), è un pacchetto ogni $1.6\times10^{23}$metri cubi, questo è un cubo di 57.000 chilometri per lato con un fascio di 1 kg di iodio-133 al centro. L'età dell'universo è stimata in 13,772 miliardi di anni, circa$7.24\times10^{15}$minuti. Se prendessimo tutti quei fasci di iodio-133 e ripetessimo il nostro esperimento ogni minuto (riconvertendo gli atomi decaduti in iodio-131 per ogni prova) dal big bang fino ad ora, sarebbe circa$1.6\times10^{73}$ prove individuali.
L'esponente di 73 non è vicino all'esponente di cui abbiamo bisogno per ottenere una probabilità del 63,2% che accada. Ci dovrebbe essere circa$2.66\times10^{23}$ universi di atomi convertiti in iodio-131 rieseguono l'esperimento ogni minuto per 13,777 miliardi di anni per avere una probabilità del 63,2% che accada almeno una volta.
Per capirlo, è necessario vedere cosa innesca un decadimento nucleare. La risposta è un bellissimo esempio di comportamento meccanico quantistico. Niente lo fa scattare. È solo che il mondo è fondamentalmente meccanico quantistico e probabilistico.
Tutte le altre risposte che "no, non c'è nessun evento scatenante, succede e basta, la meccanica quantistica è così" sono perfettamente corrette.
Cosa succede prima che un elemento radioattivo decada?
Tutto quello che puoi fare è calcolare le probabilità.
Quindi la risposta alla tua domanda è che sì, c'è una probabilità diversa da zero che il materiale decada nel minuto successivo.
Ma la tua domanda è più se c'è una possibilità che tutti gli atomi nel materiale decadano simultaneamente nel minuto successivo. E la risposta è di nuovo sì, c'è una probabilità diversa da zero che ciò accada, ma accade solo che la probabilità è così piccola, che anche su scale temporali giganti come l'età del nostro universo, c'è una probabilità molto piccola per noi per osservare che ciò accada.