Può una somma di $n$ i quadrati devono essere espressi come la somma di $n/2$ piazze?
La risposta per il caso speciale in cui i quadrati sono il triplo pitagorico è sì. Le triple pitagoriche sono il caso del più basso$n$, vale a dire $2$. Due triple pitagoriche possono essere combinate per formare una somma di$4$ piazze come in $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Combinando (aggiungendo) triple pitagoriche, possiamo fare una somma di quadrati con arbitrario$n$.
Domanda: cosa succede nel caso generale quando le coppie di quadrati coinvolte non sono triple pitagoriche o quando non tutte le coppie sono pitagoriche?
Risposte
La risposta è sì per (anche)$n \geq 8$e no per (anche)$n \leq 7$.
Se $n \geq 8$ poi la somma del tuo $n$quadrati è la somma di quattro quadrati secondo il teorema dei quattro quadrati di Lagrange. Ora se$n/2$ è maggiore di 4, puoi completare la tua somma aggiungendo un numero sufficiente di termini pari a $0^2$.
Per $4 \leq n \leq 7$ nota che $7$ può essere scritto come la somma di $n$ quadrati ma non possono essere scritti come la somma di $n/2$ piazze.
Per $2 \leq n \leq 3$ nota che $5$ è la somma di $n$ quadrati ma non la somma di $n/2$ piazze.
Dal teorema dei quattro quadrati di Lagrange, abbiamo che ogni numero naturale può essere espresso come la somma di quattro quadrati perfetti. Perché possiamo sempre aggiungere$0^2$ senza modificare la somma, ciò significa che ogni numero naturale può essere scritto come la somma di $n$ piazze per qualsiasi $n\geq4$.
Il tuo problema chiede se dato questo $M$ è la somma di $n$ quadrati, può essere scritto come la somma di $\frac{n}{2}$piazze. Poiché ciò lo richiede$n$ essere pari, abbiamo quattro casi:
Caso 1: $n=2$
In questo caso, dato quello $M$ è la somma di due quadrati, è solo la somma di un quadrato se abbiamo una tripla pitagorica.
Caso 2: $n=4$
In questo caso, $M$può essere qualsiasi numero naturale. La domanda chiede se un numero naturale generico può essere scritto come la somma di 2 quadrati. La risposta a questa domanda viene dal Teorema della somma di due quadrati, attribuito a Eulero, e dice che un numero può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua scomposizione in fattori primi non contiene un numero primo congruente$-1\mod4$ elevato a uno strano potere.
Caso 3: $n=6$
In questo caso, M può essere qualsiasi numero naturale. La domanda chiede se un numero naturale generico può essere scritto come la somma di 3 quadrati. Dal teorema dei tre quadrati di Legendre, la risposta è che la maggior parte dei numeri naturali, ma non tutti, possono essere scritti come la somma di tre quadrati. In particolare, tutti i numeri naturali tranne quelli che compaiono inhttps://oeis.org/A004215 può essere scritto come la somma di tre quadrati
Caso 4: $n\geq8$
In questo caso, ogni numero naturale può essere scritto come la somma di $\frac{n}{2}$ piazze, e quindi la risposta è banalmente sì.
Per i casi 3 e 4, abbiamo abbastanza margine di manovra nella scelta $n$ piazze che possiamo scegliere una rottura che non includa le triple pitagoriche
Non sono sicuro di aver capito correttamente la domanda, perché se questo è ciò che intendi effettivamente, allora non è troppo difficile trovare controesempi.
La mia interpretazione: data una raccolta di $n$ interi positivi, $\{ a_1, ..., a_n \}$, è possibile trovare una raccolta di $n/2$ numeri interi positivi, diciamo, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ tale che $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Se questo è ciò che intendi effettivamente, prima considera $n$essere un numero intero dispari e abbiamo finito. Perché$n/2$ non è un numero intero l'affermazione è ovviamente falsa.
Supponiamo ora $n$è consentito solo essere pari. Considera, diciamo$n = 2$ e $a_i = 1$ per entrambi $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, non è un quadrato perfetto, ed è quindi un controesempio per l'affermazione.
Ogni due triple pitagoriche possono essere rappresentate come la somma di quattro quadrati o la somma di due quadrati.
Esempi: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
oppure, dall'esempio che ho mostrato nella mia prima versione di questa risposta: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
dove $8$ le somme dei quadrati sono espresse come $4$. Ho dato l'esempio di$4$ valori uguali ma qualsiasi numero pari di qualsiasi combinazione di $C$-i valori possono essere ridotti alla metà di quel numero.
Un altro esempio è qui dove $10$ le somme quadrate sono uguali a $5$ somme $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Per la tua ultima domanda, se i quadrati non sono richiesti, ci sono anche infinite soluzioni: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ o $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$