Qual è il valore che rende la lunghezza minima dell'intervallo di confidenza?

Aug 18 2020

Una variabile casuale $X$ segue $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

Considero un intervallo di confidenza di $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.

Quando imposto il livello di confidenza a $1-\alpha$, quali sono i valori di $b$ e $c$ che rende la lunghezza minima dell'intervallo di confidenza $d=b+c$?


Quello che ho trovato

La domanda prima di questo chiedeva circa la probabilità di $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

e ho ottenuto facilmente la risposta $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

Penso che se ho bisogno di un intervallo di confidenza di $/theta$, Ho bisogno di impostare $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ ma non conosco il PDF di $\theta$. Qui è dove sono rimasto bloccato.

Qualcuno può aiutarmi?

Risposte

1 user295357 Sep 03 2020 at 19:44

Poiché il pdf che hai fornito è un pdf condizionale di X sotto dato θ, è possibile derivare l'intervallo di confidenza (CI) di X sotto dato θ, ma non l'IC di θ.

Al contrario, se il pdf di f (θ | x) è dato dalla stessa espressione, allora il CI più breve di θ può essere derivato come S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].

1 Ben Sep 04 2020 at 07:13

C'è un errore nel tuo risultato di probabilità (che dovrebbe essere chiaro dal fatto che è illimitato). Utilizzando l'intervallo$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ dovresti avere la probabilità di copertura:

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(Osserva che, a differenza del tuo risultato, questo si avvicina a quando $b \rightarrow \infty$ o $c \rightarrow \infty$.) Pertanto, trovare l'intervallo di confidenza ottimale di questo modulo richiede di risolvere il seguente problema di ottimizzazione:

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

Con un po 'di lavoro, dovrebbe essere possibile dimostrare che l'ottimo si verifica quando $b=c$, in modo che l'intervallo di confidenza ottimale sia uno con il punto medio a $x$. Ciò non sorprende, dato che la distribuzione di Laplace è simmetrica attorno al parametro medio$\theta$.