Qual è l'intuizione dietro Bures e le metriche angolari?

Aug 17 2020

Sto leggendo Misure di distanza per confrontare processi quantistici reali e ideali e viene spiegata la motivazione alla base della metrica Bures e della metrica angolare.

La metrica Bures è definita come:

$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$

La metrica angolare è definita come:

$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$

Dove $F(\rho,\sigma)$ è la fedeltà tra $\rho$ e $\sigma$matrici di densità. Dice che possiamo capire tale motivazione sugli stati puri: vedremmo che proviene dalla solita distanza euclidea.

Se eseguo tali calcoli, definirei la distanza euclidea come:

$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$

Per trovare la metrica Bure devo supporre $\langle X | Y \rangle \geq 0$.

Ma perché dovrebbe essere così? Ad esempio, se considero:

$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$

Non posso cambiare la fase relativa tra $|a \rangle$ e $|b \rangle$ come voglio (perché cambierebbe lo stato fisico $|\psi \rangle$). Quindi se$\langle a | b \rangle $ non è un numero positivo immagino che non ci sia molto che posso fare per questo.

Come capire allora l'intuizione dietro tale metrica? Devo considerarla effettivamente come una definizione "astratta" sulla quale verifico che soddisfi gli assiomi di una metrica? Ma sarebbe strano nel modo in cui il documento spiega la motivazione dietro.

Domanda simile per la metrica dell'angolo.

[modifica]: Penso che potrebbe derivare dal fatto che vogliamo definire una distanza tra stati fisici . Considerando$|\Phi \rangle$ e $| \Psi \rangle$due stati fisici, la loro fase globale non ha importanza. Quindi, per avere una formula semplice possiamo scegliere le loro fasi$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ così che $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ che corrispondono al limite superiore: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. In qualche modo ha senso perché siamo interessati alla distanza tra stati fisici e non matematici. Possiamo così fissare le fasi globali dei due stati come vorremmo.

Ha senso ?

Risposte

2 NieldeBeaudrap Aug 25 2020 at 03:48

Compilando una serie di dettagli per ottenere una risposta completa -

Partendo dall'articolo collegato, Misure di distanza per confrontare processi quantistici reali e ideali [arXiv: quant-ph / 0408063] , la definizione di fedeltà è data nell'Eqn. (4) come$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- che potrebbe sembrare un po 'intimidatorio, ma dimostra due cose importanti sulla fedeltà: che è definita in generale su operatori di densità (non solo vettori di stato), e che è sempre un numero reale non negativo. Se vuoi calcolarlo per stati puri, la definizione di cui sopra finisce per essere equivalente a$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ che è sempre un reale non negativo, e in particolare, che non dipende da nessuna fase globale che potresti considerare per lo stato $\lvert \psi \rangle$ o $\lvert \phi \rangle$ (che non è informazione fisica sullo stato).

La metrica Bures (dalla seconda colonna di pagina 4) è quindi $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ che per gli stati puri si semplifica a $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ dove il massimo è preso sui vettori unitari $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ e $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.

Mi chiedi (non irragionevolmente) perché, per gli stati puri, prenderesti il ​​valore assoluto $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, invece della parte reale $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ come faresti se avessi a che fare direttamente con i prodotti interni dei vettori $\lvert \psi \rangle$ e $\lvert \phi \rangle$. La risposta è che, poiché siamo interessati agli stati e non in realtà a vettori particolari che rappresentano quegli stati, lavorare direttamente con i vettori di stato non fornirà necessariamente una risposta sensata. Per uno stato$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, i valori di $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ e $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ di solito non sarà lo stesso, ma se usiamo $\lvert \phi' \rangle$ o $\lvert \phi \rangle$rappresentare lo stato dovrebbe essere una scelta puramente arbitraria senza alcun impatto né sulla fisica né sulla nostra analisi della fisica. Qualsiasi scelta di formula dovrebbe essere stabile sotto tali scelte arbitrarie e inoltre (per una metrica) dovrebbe fornire il valore$0$ se dovessimo considerare modi diversi $\lvert \phi' \rangle$ e $\lvert \phi \rangle$ per rappresentare lo stesso stato.

Tieni presente che, alla fine della giornata, la loro osservazione sulla semplificazione alla metrica euclidea è stata probabilmente un rapido tentativo di fornire intuizione, piuttosto che un serio tentativo di fornire una dichiarazione formale. Tuttavia, c'è un senso in cui prendere il valore assoluto (o se si preferisce, il prodotto interno massimo tra stati equivalenti fino a fasi globali) è l'approccio corretto per considerare la connessione alla "distanza euclidea" tra "stati", e Mi aspetto che questo sia ciò che hanno in mente.