Qual è l'osservabile quando si misurano più qubit nella base computazionale?
In Nielsen e Chuang, Quantum computing e quantum information, la seguente definizione è data a una misurazione proiettiva:
Le misurazioni proiettive sono descritte da un osservabile $M$ :
$$M = \sum_m m P_m$$
con $P_m$ un proiettore sull'Eigenspace di $M$ con autovalore $m$.
La mia domanda ora è: quando diciamo che misuriamo un sistema di n qubit nella base computazionale, a quale osservabile ci riferiamo precisamente?
Per 1 qubit, so che questo si riferisce all'osservabile Z:
$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$
per n qubit, la mia intuizione sarebbe:
\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}
con I la matrice identitaria.
Allora l'osservabile sarebbe come nella definizione. È corretto ?
Risposte
Nota che le tue attuali definizioni delle matrici di proiezione $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ in realtà non sono matrici di proiezione, poiché $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.
Ciò che funziona "meglio" è se hai qualcosa come:
\ begin {equation} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {- 1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {- 1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {- 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {equation}
Tuttavia, un PVM deve averlo $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$, che chiaramente non è il caso qui! Si potrebbe risolvere questo problema rinormalizzando, ma qui manca un'altra cosa: questi proiettori in realtà non tengono conto di alcuna correlazione che le misurazioni potrebbero avere.
Una "scelta" migliore sono quindi gli operatori di misura $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. Questo operatore ha$2^{n}$ autovettori:
$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ dove $m_{i} = \pm 1$ basato sulla parità della stringa di bit $i$. Come risultato della misurazione, si ottiene quindi la stringa di bit$i$, associato alla proiezione sullo stato $|i\rangle$.
Si desidera semplicemente qualsiasi operatore diagonale che abbia elementi diagonali distinti (il che implicherebbe che ogni elemento di base si associ a un output distinto della misurazione).
Un modo conveniente per denotarlo in termini di matrici di Pauli è $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ Per uno stato di base $|x\rangle$ dove $x$ è un numero binario, l'autovalore è la rappresentazione decimale di $x$(e quindi distinto). Naturalmente, puoi eliminare tutti i termini di identità poiché questi danno solo uno spostamento in tutti gli autovalori.
Nota che se stai prendendo in considerazione una misurazione proiettiva, non è affatto necessario occuparti di osservabili. Una misurazione proiettiva è caratterizzata dalla base$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ su cui si sta misurando e quindi le probabilità di proiezione associate $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (quando $\ket\psi$è lo stato misurato). Non hai bisogno di nient'altro.
Portare un osservabile nell'immagine può essere utile, a seconda delle circostanze e di ciò che ti interessa esattamente. Ma ricorda che gli osservabili sono usati per calcolare i valori delle aspettative . In altre parole, si definisce un osservabile allegando numeri ai possibili risultati di misurazione e quindi calcolando il valore atteso di questi numeri rispetto alla distribuzione di probabilità$p_i$.