Qual è la capacità di un cucchiaio?
Qualcuno l'ha misurato? Non riesco a trovare nulla online per "capacità del cucchiaio"; qual è la capacità (auto) attesa sul tipico cucchiaio di metallo per uso domestico? Le teste dei cucchiai hanno una bella superficie per immagazzinare le cariche come un condensatore a due piastre.
In alternativa, va bene anche la capacità di qualsiasi utilità domestica tipica (forchetta, coltello, padella in metallo ...).
Risposte
Gary Godfrey mi ha battuto sulla battuta sferica della mucca . Per la risposta di un teorico leggermente più sofisticato, consideriamo invece una mucca ellissoidale. Secondo la Digital Library of Mathematical Functions , l'inverso della capacità di un ellissoide conduttore con semiassi maggiori$a$, $b$, e $c$ è $\frac{1}{C} = R_F(a^2, b^2, c^2) / (4 \pi \epsilon_0)$, dove $$ R_F(a^2, b^2, c^2) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{(t+a^2)(t+b^2)(t+c^2)}}. $$ (Si noti che la formula fornita nel collegamento sopra è in unità CGS; Penso di averla convertita correttamente in unità MKS, ma fammi sapere se questo necessita di correzione.) Questo integrale non ha un'espressione in forma chiusa per arbitrario $a$, $b$, e $c$; ma per$a = b < c$, può essere eseguito: $$ R_F(a^2, a^2, c^2) = \frac{\cosh^{-1} (c/a)}{\sqrt{c^2 - a^2}}. $$ Questo implica che $$ C = 4 \pi \epsilon_0 \frac{\sqrt{c^2 - a^2}}{\cosh^{-1} (c/a)}. $$ Se approssimiamo un cucchiaio come un ellissoide di lunghezza 20 cm e diametro 2 cm, abbiamo $c = 10$ cm e $a = 1$ cm, e otteniamo $ C \approx 3.7$ pF.
Come altro esempio, se approssimiamo un corpo umano come un ellissoide con $c = 80$ cm e $a = 20$ cm, otteniamo $C \approx 42$pF. Possiamo vedere che questo rientra in un ordine di grandezza di stime trovate altrove.
Per un oggetto che è meglio approssimato come un ellissoide oblato, con $a = b > c$, l'integrale è leggermente diverso e la capacità risulta essere: $$ C = 4 \pi \epsilon_0 \frac{\sqrt{a^2 - c^2}}{\cos^{-1} (c/a)}. $$ Se una padella ha un raggio di $c \approx 15$ cm, e uno spessore di circa 4 cm (quindi $a \approx 2 cm$), poi $C \approx 11.5 pF$. Ancora più piccolo di quello di un corpo umano.
Infine, si noti che in entrambi i casi, per un dato rapporto di $c/a$, la capacità di un corpo scala linearmente con le sue dimensioni. Questa è una proprietà generale che può (credo) essere dimostrata rigorosamente per corpi di forma arbitraria tramite argomenti basati sulle proprietà dell'equazione di Laplace.
Invece del vecchio scherzo della fisica di "considera una mucca sferica", consideriamo un cucchiaio sferico di raggio r. La capacità di una sfera nello spazio esterno è
\begin{align} C_\text{sphere} &= 4\pi \epsilon_0 r=4\pi\times 8.8\times10^{-12} \frac{\rm F}{\rm m} \times r \\ &=111.\times 10^{-12} \frac{\rm F}{\rm m} \times r \\ &\approx 1~\mathrm{pF}\times \frac{r}{\rm \text{cm}} \end{align}
Il mio cucchiaio è lungo 16 cm (cioè: un cucchiaio sferico di 8 cm di raggio), quindi la capacità del cucchiaio è di circa 8 pf.