Qual'è la differenza tra Path $\infty$-gruppoide e fondamentale liscia $\infty$-gruppooide di uno spazio liscio?

Aug 19 2020

Un paio di giorni fa ho posto una domanda Esiste una versione geometrica / liscia dell'ipotesi di omotopia usando il percorso$\infty$-Gruppoide di uno spazio liscio? in MO sull'esistenza di una possibile versione Smooth / Geometric dell'ipotesi di omotopia utilizzando la nozione di Path$\infty$-gruppoide di uno spazio liscio.

Dopo una discussione nella sezione commenti con @David Roberts ho avuto la sensazione (ma non del tutto convinto) che sebbene il percorso 1-gruppoide e 1-gruppoide fondamentale liscio di uno spazio liscio siano oggetti abbastanza diversi ma "se ci spostiamo fino al livello infinito" e presentarli come Complessi Kan, quindi stanno diventando lo stesso oggetto.

3 mesi fa ho posto la seguente domanda MO Qual è la realizzazione geometrica del nervo di un gruppoide fondamentale di uno spazio? .

Dalle discussioni in

  1. Esiste una versione geometrica / liscia dell'ipotesi di omotopia utilizzando il percorso $\infty$-Gruppoide di uno spazio liscio?

  2. Qual è la realizzazione geometrica del nervo di un gruppoide fondamentale di uno spazio?

ora ho le seguenti domande / dubbi:

Sappiamo che la costruzione di 1 gruppoide fondamentale liscio e 1 gruppoide del percorso di uno spazio liscio inducono funtori naturali $Man \rightarrow Groupoids$. Ora dalla discussione in Qual è la realizzazione geometrica del nervo di un gruppoide fondamentale di uno spazio? Me lo aspetto$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ contiene tutte le informazioni dei primi gruppi di omotopia dello spazio liscio $X$ dove $N$è il funtore nervoso ,$\pi_{\leq 1}$è il funtore 1-gruppoide fondamentale liscio e$|-|$è il funtore di realizzazione geometrica . Ora possiamo ripetere la stessa procedura con il funtore Path 1-Groupoid$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

Le mie domande sono le seguenti:

  1. È $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (dove "$=$"è in un senso appropriato)

  2. C'è un modo per presentare un percorso $\infty$-gruppoide di uno spazio liscio tale che sia diverso da Smooth Fundamental $\infty$-gruppoide dello spazio? (In modo che corrisponda alla nostra intuizione per$n=1$ Astuccio)

(Da "$n$"Intendo" Groupoids nel livello 1 ").

Risposte

4 DavidRoberts Aug 19 2020 at 11:19

Posso solo rispondere alla tua prima domanda, e la risposta è no. Prendiamo ad esempio$X=\mathbb{R}^2$, così che il gruppoide fondamentale è banale, ma il gruppoide del percorso contiene frecce distinte rappresentate da cerchi di ogni raggio positivo passanti per un punto base fisso (e molti molti altri ancora). Questo sta ignorando tutte le questioni di topologia o struttura liscia sul set di frecce, che penso sia il tuo intento. E così le realizzazioni geometriche dei nervi di questi non possono essere neppure debolmente equivalenti all'omotopia, poiché si è contrattabili e si ha un gruppo fondamentale che non è neppure finitamente generato.