Qual è la matrice del logaritmo dell'operatore derivato ( $\ln D$)? Qual è il ruolo di questo operatore in vari campi matematici?

Question

Babusci e Dattoli, Sul logaritmo dell'operatore derivato , arXiv: 1105.5978 , dà degli ottimi risultati:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Mi chiedo, qual è la sua matrice, o altrimenti, esiste un metodo per applicarla a una funzione?

Qual è il suo ruolo intuitivo in vari campi della matematica?

Answer 1

Dopo la trasformazione di Fourier $x\mapsto k$, questo diventa un operatore diagonale con elementi di matrice $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Quindi, per trovare gli elementi della matrice nel file$x$-rappresentazione avremmo bisogno di invertire la trasformata di Fourier del logaritmo $\ln k$. Da questa risposta MSE per la trasformata di Fourier di$\ln |k|$ (con segni di valore assoluto) Lo concluderei $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Questa notazione significa che $\ln D$ agire su una funzione $f(x)$ produce una nuova funzione $g(x)$ dato da $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

L'interpretazione di a $\ln(D)$ dipende dall'interpolazione che si sceglie dell'operatore derivato usuale e dai suoi poteri interi positivi a un operatore integro-derivato frazionario (FID), cioè un'interpretazione di $D$esponenziato da qualsiasi numero reale (o complesso tramite continuazione analitica), che a sua volta dipende dalle funzioni su cui il FID deve agire. L'estensione descritta di seguito produce tre identità B&D ed è coerente con le proprietà che Pincherle ha imposto a qualsiasi famiglia legittima di FID (vedere questo MO-Q su una derivata 1/2 e questo MO-Q sul calcolo frazionario ). Può essere definito dall'azione su un "insieme di base" di intere funzioni nella variabile complessa$\omega$ come

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

dove $H(x)$ è la funzione passo Heaviside, e $\alpha$ e $\omega$ possono essere numeri complessi con la solita identificazione nella teoria delle funzioni generalizzate e delle distribuzioni di

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

con $n=0,1,2,3,...$.

Nota che questo ha poco a che fare con una trasformata di Fourier sulla linea reale o con qualsiasi op / simbolo pseudo-diff associato a tale. In particolare,$D^{\alpha}$ qui NON è associato alla moltiplicazione per $(i 2 \pi f)^{\alpha}$nello spazio delle frequenze. Altrove mostro varie ripetizioni convoluzionali equivalenti di questo FID come 1) un FT su un cerchio tramite una trasformazione di un integrale di contorno del complesso di Cauchy regolarizzato, 2) la continuazione analitica della ripetizione integrale della funzione beta di Eulero attraverso un ingrandimento in il piano complesso dell'integrale lungo il segmento di retta reale o la regolarizzazione tramite la parte finita di Hadamard o tramite il contorno di Pochhammer, 3) l'interpolazione di Mellin dell'operatore derivato standard tramite l'azione della funzione generatrice$e^{tD_x}$, un'applicazione operatore della formula principale di Ramanujan, o 4) una funzione sinc / interpolazione serie cardinale dei coefficienti binomiali generalizzati.

Vediamo quanto sia fattibile la definizione di FID di cui sopra; la sua connessione ad un generatore infinitesimale (infinigen) del FID e delle tre identità B&D; una connessione al formalismo delle sequenze polinomiali di Appell Sheffer e, quindi, alla teoria polinomiale / funzione simmetrica; e ripetizioni della matrice dell'infinigen e del FID.

Se assumiamo che un generatore infinitesimale $IG$ esiste tale che

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

poi formalmente

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

e l'infinigen è

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

dove $\psi(x)$ è la funzione digamma, che può essere definita sul piano complesso come una funzione meromorfa ed è intimamente correlata ai valori della funzione zeta di Riemann a $s = 2,3,4,...$.

Alcune ripetizioni (che danno le stesse identità di B&D) lo sono

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

dove $\lambda$ è legato alla costante Eulero-Mascheroni via $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Altre ripetizioni e altri modi per arrivare alle ripetizioni di cui sopra sono dati negli arbitri sotto.

Vediamo un modo attraverso il formalismo delle sequenze polinomiali di Appell Sheffer, che risolve eventuali problemi di convergenza all'esponenziazione della formula di diff op esplicita per l'infinigene e consente connessioni alla teoria dei polinomi / funzioni simmetriche.

La pertinente sequenza di polinomi di Appell $p_n(z) = (p.(z))^n$ ha la funzione generatrice esponenziale, intera nella variabile complessa $t$, ovvero, con la sua serie di Taylor convergente a livello globale,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

con la sequenza polinomiale reciproca definita in quattro modi coerenti $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, un egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, in termini di matrici dei coefficienti triangolari inferiori delle due sequenze nella base di potenza monomiale $z^n$ con unità diagonale,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, un'ombra inversione convoluzionale,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, un generatore operativo.

Ne consegue l'innalzamento dell'op dei polinomi di Appell $p_n(z)$ definito da

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

è dato da

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

una coniugazione di operatori, o "trasformazione di gauge", dell'operatore di sollevamento $z$ per i monomi di potenza.

Inoltre, con il commutatore operatore $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Ora rientra Pincherle e l'omonimo derivato dell'operatore, che Rota ha propagandato per il calcolo degli operatori finiti. Il derivato Graves-Pincherle deriva il suo potere dal commutatore Graves-Lie-Heisenberg-Weyl$[D_z,z] = 1$ da cui, per normale riordino, implica per qualsiasi funzione espressa come serie di potenze in $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Questo è un avatar del derivato di Pincherle (PD) che segue dall'azione $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

ma il PD è valido per operazioni più generali di abbassamento e sollevamento (ladder) che soddisfano $[L,R]= 1$.

Poi

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

Con la sostituzione $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

L'operazione di rilancio è definita in modo tale

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

un'intera funzione per $t$complesso; perciò,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

così

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

e possiamo identificarlo davvero

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

e

$$IG = \ln(D_x).$$

Ora applica il PD a $\ln(D)$, come un controllo del formalismo e una via per un rappresentante della matrice, che dà formalmente

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

A questo viene dato un significato esplicito valutando il commutatore per una funzione generale $g(x)$ analitico all'origine (che generalizza al nostro insieme di "base") usando la rappresentazione integrale per $R_x = -\ln(D_x)$, dando

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Quindi, abbiamo

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

e

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

implicando

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

Inoltre, con

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

poi

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

dove

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

La serie op alle differenze finite è incorporata nella derivata $D_{\alpha =0}$di dell'interpolatore Newton

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

Per $\alpha = -m$ con $m = 1,2,...$ e $\omega = 0$, questo interpolatore di Newton dà

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

che concorda in senso distributivo con le risoluzioni polinomiali di Laguerre di $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$nelle formule di questo MO-Q poiché, con$c_n = f_n$ nella notazione lì,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

con

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

quindi, per il $m$-th derivata della funzione Heaviside,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

e, quindi, i coefficienti della risoluzione della serie di Laguerre del $m$-th derivata della funzione di Heaviside sono

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

in accordo con l'interpolatore di Newton.

Applicando $D_x^{-1}$ iterativamente su entrambi i lati di questa identità stabilisce interpolazioni convergenti per $\omega = 1,2,3,...$e agendo sulla base del potere all'interno dell'espansione binomiale di $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ dovrebbe fornire anche espressioni convergenti.

Allo stesso modo per $\omega=0$, abbiamo la trasformata di Laplace (o più precisamente, la trasformata di Mellin modificata centrale alla formula principale di Ramanujan attraverso la quale i FID possono essere espressi come interpolazioni di Mellin delle derivate standard),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

per $Re(\alpha) > -1$, dando

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Questa trasformata di Laplace e, quindi, l'interpolatore di Newton può essere continuata analiticamente in diversi modi standard (ad esempio, esplosione dalla linea reale al piano complesso tramite un contorno di Hankel , parte finita di Hadamard ) al piano complesso completo per$\alpha$. Per gli esponenti interi negativi, il contorno di Hankel si contrae al solito rappresentante del contorno di Cauchy per la differenziazione. L'approccio a parti finite di Hadamard consente all'interpolatore di Newton di essere opportunamente modificato striscia per striscia per fornire i risultati desiderati.

Tornando alla differenza finita rep per $\ln(D_x)$, l'azione dell'infinigen su 1 dà quindi, per $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

dove $L_n(x)$ sono i polinomi di Laguerre, in accordo con la prima equazione di B&D nella domanda.

Grafici dei risultati della valutazione della serie di operatori troncati in $n=80$, o giù di lì, agendo $x^2$ e $x^3$ abbinare anche i risultati analitici.

La matrice rep $M$ dell'azione di questa integrazione op $D_x^{-1}$ sopra $x^n$ è abbastanza semplice nella base di potenza - una matrice con tutti zeri tranne il primo sottodiagonale, o superdiagonale, a seconda della moltiplicazione della matrice sinistra o destra, con elementi $(1,1/2,1/3,...)$.

Il rappresentante della matrice per $R_x$ è poi

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Esponenziale,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

La rappresentanza della matrice associata è

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(Non ho controllato numericamente questi calcoli di matrici come farei normalmente poiché il mio disco MathCad è archiviato in un altro stato.)

Agire su potenze non intere di $x$, devi rappresentarli come sovrapposizioni della base di potenza intera come nell'espansione binomiale

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

In alternativa, torna al file $z$ rep e annota la matrice rep del rilancio op $R_z$. Questa è una semplice trasformazione dell'infinita matrice Pascal triangolare inferiore aumentata con una prima superdiagonale di tutte. OEIS A039683 ha un esempio dell'equivalente di matrice di un operazione di elevazione nella base del potere monomiale, noto anche come matrice di produzione in un altro approccio (Riordan?) Alle sequenze polinomiali. Meglio in questo caso passare alla base di potenza divisa$z^n/n!$. Quindi la matrice Pascal aumentata diventa la semplice matrice di somma di tutti quelli. Moltiplicare lungo l'ennesima diagonale per$c_n$ dove $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ per generare la matrice rep per l'operazione di rilancio, ma poiché, ad esempio, $x^2=e^{2z}$, questo diventa rapidamente un algoritmo disordinato da applicare rispetto alla ripetizione alla differenza finita.

---

Ulteriori riferimenti (non esaustivi):

1. Zeta di Riemann e calcolo frazionario, un MO-Q
2. Funzione Digamma / Psi, Wiki
3. OEIS A238363 nel registro dell'operatore derivato
4. OEIS A036039 sui polinomi dell'indice di ciclo e sulle funzioni simmetriche
5. Funzioni zeta e polinomi dell'indice di ciclo, un MO-Q
6. Sull'operazione di aumento per i FID, un MSE-Q
7. OEIS A132440 su una matrice infinigen
8. OEIS A263634 su ripetizioni polinomiali di partizione per operazioni di aumento di appell
9. Rif. Per un'altra interpolazione di un registro di una derivata, un pdf
10. Interpolazione / continuazione analitica dei fattoriali al gamma fct, MSE-Q
11. Raising ops for Appell sequences, a blog post
12. Esempio di interpolazione di Mellin di $e^{tD}$, MO-Q
13. Altro su interpolazione / continuazione analitica di operazioni differenziali, un post sul blog
14. Due continuazioni analitiche dei coefficienti di una funzione generatrice, MO-Q
15. FID e funzioni ipergeometriche confluenti, un MO-Q
16. Nota sul derivato di Pincherle, un post sul blog
17. FID e interpolazione dei coefficienti binomiali, un post sul blog
18. FID, interpolazione e onde in viaggio, un post sul blog