Qual è la probabilità che$P(Y>X)$quando$Y$e$X$sono indipendenti?

Question

Permettere$Y\sim N(8.30;0.02^2)$e$X\sim N(6.60;0.01^2)$. Qual è la probabilità che$P(Y>X)$quando$Y$e$X$sono indipendenti?

La mia soluzione finora:

Da$Y$e$X$sono indipendenti,$$Y+X\sim N(\mu_Y+\mu_X,\sigma^2_Y+\sigma^2_X).$$

Adesso

$$Y-X\sim N(1.7;0.02236^2).$$

La probabilità può essere scritta

$$P(Y>X)=P(Y-X>0)=1-P(Y-X\le0)$$

e poiché la probabilità deve essere maggiore o uguale a zero,$$1-P(Y-X=0).$$

Non so se ho fatto bene finora e non so come andare avanti da qui.

Answer 1

$$P(Y>X)=P(Y-X>0)=1-P(Y-X\le0)$$

Fin qui è giusto. Poi dobbiamo sapere come$Y-X$è distribuito.

1. Anche la differenza di due variabili distribuite normali è normale distribuita normale.

2. Quindi il valore atteso è$\mathbb E(Y-X)=\mathbb E(Y)-\mathbb E(X)$(linearità dell'aspettativa).

3. Da$X$e$Y$sono indipendenti la covarianza è$0$. così$Var(Y-X)=Var(Y)+Var(X)+2\cdot cov(X,Y)=Var(Y)+Var(X)$

Combina queste tre informazioni.

Modifica: la varianza è giusta$0.01^2+0.02^2=0.0005$. Non è necessario elevare al quadrato la radice quadrata approssimata:$0.02236^2=0.0004999696$. Questo non è il valore esatto.