Qual è la relazione tra il primo teorema di HK e il secondo teorema di HK?

Question

Il primo teorema di Hohenberg-Kohn (HK) : Il potenziale esterno$v(\vec{r})$è determinato, entro una banale costante additiva, dalla densità elettronica dello stato fondamentale$\rho(\vec{r})$.

Dalla meccanica quantistica di base, sappiamo che:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Secondo il primo teorema di HK, possiamo ulteriormente conoscerlo$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. In sostanza, il primo teorema di HK dimostra la mappatura uno-a-uno tra i potenziali esterni e le densità dello stato fondamentale$\rho$nei sistemi a molti elettroni.

Il secondo teorema di HK : esiste un funzionale universale della densità,$F_{HK}[\rho']$, tale che per qualsiasi$N$-densità rappresentabile ($\textit{i.e.}$, qualsiasi densità che deriva da una funzione d'onda per an$N$-sistema elettronico)$\rho(\vec{r})$, che produce un dato numero di elettroni$N$, il funzionale energetico è$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$in quale$E_g$è l'energia dello stato fondamentale e l'uguaglianza vale quando la densità$\rho'(\vec{r})$è la densità dello stato fondamentale, possibilmente degenerata$\rho_0'(\vec{r})$per il potenziale esterno$v(\vec{r})$.

Dalle due affermazioni, non vedo alcuna connessione tra i due teoremi. Allora qual è la relazione tra i due teoremi? Se$F_{HK}(\rho')$è il funzionale della densità dello stato fondamentale, posso costruire una connessione tra i due teoremi. Ma la densità dentro$F_{HK}[\rho]$non è necessaria la densità dello stato fondamentale.

• Sul primo teorema di HK:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• Sul secondo teorema di HK:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

Usando la tua notazione, la definizione per il funzionale universale è

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

dove$\hat{T}$e$\hat{W}$sono rispettivamente operatori cinetici e di interazione elettrone-elettrone. Questa definizione è possibile grazie alla mappatura uno-a-uno tra le densità e le corrispondenti funzioni d'onda dello stato fondamentale (cioè perché$\psi_0$è un funzionale di$\rho$), che credo sia la connessione che stai cercando.

Answer 2

Una connessione formale è che il primo teorema è usato nella dimostrazione del secondo. In effetti, la seconda è una traduzione del principio che$E[\Psi']$ha un minimo alla corretta funzione d'onda dello stato fondamentale$\Psi$, utilizzando la corrispondenza uno-a-uno$\rho \leftrightarrow \Psi$noto dal primo teorema.

La derivazione può essere trovata nell'articolo originale di Kohn e Hohenberg (parte I-2.). È piuttosto breve e di facile lettura, quindi vale la pena dare un'occhiata.