Qual è la relazione tra il segno del codice di correzione degli errori e il tragitto degli operatori?

Aug 17 2020

Ad esempio, il QECC a 5 qubit.

Se $X_i, Y_i, Z_i$ pendolari con $M_i$, l'autovalore sarà +1. Altrimenti, l'autovalore sarà -1. Qual è la relazione tra il tragitto e il segno dell'autovalore? Inoltre, poiché il qubit di controllo è il qubit ancilla e il qubit target è$\psi$, come mai una variazione del qubit target potrebbe influenzare la misura del qubit di controllo? Ad esempio, se$X_0$ appare, perché il risultato della misurazione di ancilla qubit è 0100?

Risposte

3 chrysaor4 Aug 17 2020 at 22:43

Ciò che stai descrivendo si chiama misurazione indiretta e costituisce la spina dorsale del formalismo stabilizzatore. Per capirlo, possiamo semplicemente lavorare con un elemento generale del gruppo Pauli, che nel diagramma sottostante è il cancello etichettato$P$. Anche il$|\phi\rangle$ wire è generalmente un fascio di $n$ fili e il cancello $P$ agisce su tutti loro (nel tuo esempio, è uno stato a cinque qubit, e ogni Pauli a qubit singolo è $X$, $Z$, o $I$), ma per questo esempio supponiamo che sia un singolo qubit.

Qualsiasi elemento del gruppo Pauli ha un autospazio tale che metà degli autovettori ha autovalore +1 e l'altra metà ha autovalore -1. Nel caso di un singolo qubit Pauli$P$, possiamo chiamare questi due autovettori $|\phi_+\rangle$ e $|\phi_-\rangle$e scrivere lo stato di input in questa base $|\phi\rangle = \alpha |\phi_+\rangle + \beta |\phi_-\rangle $.

Elaborando l'azione del circuito, otteniamo

$$ |0\rangle|\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) |\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\phi\rangle + |1\rangle P |\phi\rangle ) \rightarrow \frac{1}{2} (|0\rangle(I + P)|\phi\rangle + |1\rangle(I - P)|\phi\rangle) $$

Ciò significa che il risultato che otteniamo misurando l'ancilla determina quale operatore applichiamo ai qubit di dati. Elaborando solo il primo termine, come se misurassimo l'ancilla e lo riducessimo a$|0\rangle$:

$$ \frac{1}{2}(I+P) |\phi\rangle = \frac{1}{2} (I+P) (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle) = \frac{1}{2} (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle + \alpha|\phi_+\rangle - \beta|\phi_-\rangle) = \alpha |\phi_+\rangle $$

Quindi l'azione dell'operatore è quella di proiettarsi sul suo autospazio positivo, condizionato dall'esito ancilla (e puoi verificare che l'altro esito proietti sull'autospazio negativo). Poiché proiettiamo solo su un sottospazio, invece di collassare in uno stato individuale, questa è chiamata misurazione indiretta. Per essere chiari, in questo esempio$|\phi_+\rangle$ è solo un raggio nello spazio di Hilbert, ma puoi immaginare altri proiettori come$ZZ$ che definiscono sottospazi pari / dispari, non raggi.

Se ci prepariamo intenzionalmente $|\phi\rangle = |\phi_+\rangle$, quindi l'ancilla può sempre e solo dare 0, perché nessuna parte dello stato dei dati si trova nello spazio negativo autogeno (sotto) ($\alpha=1, \beta=0$).

Ora, cosa succede se qualche errore $U$ si verifica, da qualche parte prima del cancello $P$? Poiché si presume che l'errore sia anche qualche Pauli, ha anche alcuni autospazi positivi e negativi. Inoltre, si noti che due elementi qualsiasi del gruppo Pauli devono essere pendolari o anti-spostamenti.

Assumilo $U$ pendolari con $P$: $$ UP = PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = U|\phi_+\rangle $$ quindi il nuovo stato di errore $U|\phi_+\rangle$ ha ancora l'autovalore +1 sotto $P$. Misurare l'ancilla può ancora e solo dare$|0\rangle$ (es $m_Z = +1$).

Ora supponilo $U$ anti-pendolarismo con $P$: $$ UP = -PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = -U|\phi_+\rangle $$ Ora lo stato che avrebbe dovuto essere nell'autospazio positivo ha autovalore -1 sotto $P$a causa dell'errore, quindi gli spazi sono stati capovolti! Ciò significa che l'ancilla può sempre e solo dare$|1\rangle$ su misura (es $m_Z = -1$).

In questo modo, gli errori ($U$) che fanno il pendolare con gli stabilizzatori ($P$) non sono rilevabili, perché non capovolgono il segno delle ancillas corrispondenti. Ma eventuali errori che anticommute con almeno uno stabilizzatore capovolgeranno almeno un'ancilla e possiamo rilevare l'errore. Quindi, l'unica cosa rimasta è assicurarsi che errori diversi attivino set unici di ancillas, che sono chiamati sindromi, in modo che gli errori siano decodificabili in modo univoco.

(credito d'immagine alle note del corso TU Delft Fundamentals of Quantum Information)