Qual è la relazione tra Lipschitz e $BMO$ spazi?

Aug 17 2020

Permettere $0 < \alpha < 1$. Lo spazio$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ delle funzioni continue di Lipschitz con ordine $\alpha$ è

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ La più piccola di queste costanti $C$ si chiama $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ norma di $f$ ed è indicato da $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Questa norma ha la seguente rappresentazione integrale:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ dove $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. È chiaro che per$\alpha=0$ il lato destro è la definizione di $BMO$ norma di $f$.

In base a questi fatti possiamo dire che lo spazio di Lipschitz include $BMO$spazio? Qual è la relazione tra Lipschitz e$BMO$ spazi?

Risposte

2 shalop Aug 19 2020 at 01:40

Definirò una serie di spazi che descrivono tutti funzioni di "regolarità $\alpha$" in un certo senso.

Spazi di Hölder: qui$\alpha$ sarà in $[0,1]$. Definire$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ essere lo spazio di tutte le funzioni $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tale che $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ per alcuni $C>0$ indipendente da $x,y \in \Bbb T^n$. La più piccola di queste costanti$C$ è chiamato l'Holder seminorm, indicato con $[f]_{\alpha}$. La norma spaziale di Banach$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ è definito da $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Nota che quando $\alpha = 0$ abbiamo appena ottenuto $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. Allo stesso modo si può descrivere$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ come insieme di funzioni $f$ tale che $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ per tutti i cubi $Q \subset \Bbb T^n$, dove $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, e $|Q|$ è la misura Lebesgue di $Q$. (Dimostrare questa equivalenza è difficile.)

Spazi Besov: qui$\alpha$può essere qualsiasi numero reale. Qualsiasi funzione$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ammette una decomposizione canonica chiamata decomposizione di Littlewood-Paley $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. Lo spazio Besov$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ consiste di queste funzioni $f$ tale che $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ per alcuni $C$ che è indipendente da $j$. La più piccola costante$C$per cui vale la disuguaglianza è chiamata la norma di Besov. Questo induce una struttura spaziale Banach$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. Lo spazio$B^1_{\infty,\infty}$è chiamata classe Zygmund ed è equivalentemente descritta come l'insieme di tutte le funzioni$f$ tale che $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ e $B^0_{\infty,\infty}$ consiste nelle derivate distribuzionali delle funzioni della classe Zygmund.

Spazi BMO: qui$\alpha$ sarà in $[0,1]$. Definiamo lo spazio$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ essere lo spazio di tutte le funzioni $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tale che $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, dove il sup è su tutti i cubi $Q\subset \Bbb T^n$, e $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, e $|Q|$ è la misura Lebesgue di $f$. La norma su$BMO_{\alpha}$ è definito come quel supremum, che lo rende uno spazio di Banach.

Spazi funzionali continui: qui$\alpha=:k$ deve assumere valori $\Bbb N$. Poi$C^{k}(\Bbb T^n)$ è definito come l'insieme di tutte le funzioni $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tale che tutte le derivate parziali dell'ordine fino a $k$sono continui. La norma è definita come la somma delle norme uniformi di tutte le derivate parziali fino all'ordine$k$. Ancora una volta, otteniamo uno spazio Banach.


Quindi ora la domanda è: come sono collegati tutti questi spazi?

Teorema 1: If$\alpha \in (0,1)$ poi $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Tutte le norme sono equivalenti.

Teorema 2: per$\alpha = 0$ abbiamo le seguenti inclusioni: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Quindi nessuna delle norme è equivalente. Per$\alpha=1$ abbiamo la sequenza corrispondente di inclusioni proprie.

Fondamentalmente le equivalenze nel Teorema 1 si riducono sempre a un calcolo su blocchi diadici. Falliscono per$\alpha=0$ per il fatto che la serie $\sum 2^{-\alpha n}$ diverge per $\alpha=0$.

Scusa se questo non era chiaro. Proverò ad aggiornare con riferimenti.