Quali schemi sono divisori di una varietà abeliana?
Permettere $X$ essere uno schema fluido e proiettivo ireducibile su un campo algebricamente chiuso $k$. Sto cercando di capire quando esiste una varietà abeliana$A$ tale che $X$ è isomorfo a un primo divisore su $A$.
Ci sono alcuni casi semplici, ovviamente. Se$X$ è a dimensione zero, cioè un punto, quindi è isomorfo all'identità di qualsiasi curva ellittica $E$ al di sopra di $k$, quindi è un divisore di $E$. Se$X$ è di genere $1$, quindi se scegliamo un file $k$-punto, allora $X$è una curva ellittica. Poi$X$ è isomorfo alla diagonale $\Delta\subset X\times X$, che è un divisore. Da$X$ è una curva ellittica, $X\times X$è anche una varietà abeliana. Se$X$ è una curva di genere $2$, poi il giacobiano di $X$ è bidimensionale e quindi $X$ è di codimensione uno e quindi l'incorporamento $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ ci permette di identificare $X$ con un divisore di $\text{Jac}(X)$.
Tuttavia, questi semplici casi non mi danno un'idea per il caso generale. Lo Jacobiano funziona solo per il genere$2$caso ecc. Anche la varietà Albanse non aiuta, poiché la codimensione potrebbe essere troppo grande. Ci sono controesempi di uno schema fluido, proiettivo ireducibile su un campo algebricamente chiuso che non sia un divisore di una varietà abeliana?
Risposte
Qualsiasi curva di genere maggiore di due, di cui Jacobian $J$è semplice, andrà bene. Se fosse un divisore su una superficie abeliana$S$, allora ci sarebbe una sorpresa $J\to S$ con kernel dimensionale positivo, in contraddizione con la semplicità di $J$. La maggior parte delle curve del genere più grandi di due hanno questa proprietà; un esempio scelto a caso è$y^3 = x^4 - x$.
Un'ovvia classe di controesempi sono le varietà non regolamentate. In effetti, le varietà abeliane non contengono curve razionali.
Più in generale, e per lo stesso motivo, se $X$ è qualsiasi varietà algebrica che contenga una curva razionale (possibilmente singolare), quindi $X$ non è una sottovarietà di una varietà abeliana, in particolare non è un divisore lì.
Ecco un'altra risposta usando l'albanese che ha un sapore leggermente diverso. Permettere$X$ essere $n$-dimensionale e supponiamo che $h^0(X,\Omega^1_X)<n$. Quindi qualsiasi mappa$X\rightarrow A$ dove $A$ è una varietà abeliana fattori attraverso l'Albanese, che è di dimensione inferiore a $n$, così $X$non può essere un divisore su nessuna varietà abeliana. Quindi come esempio potresti prendere qualsiasi varietà semplicemente connessa. Naturalmente,$\mathbb{P}^1$ fa il trucco.
Voglio solo sottolineare che "aggiunta + traduzione" ci dice un bel po ':
Permettere $A$ essere una varietà abeliana, diciamo di dimensione $n>1$ e lascia $D \subset A$essere un (diciamo liscio) divisore. Da$\omega_A = \mathcal{O}_A$, la formula di aggiunta $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ il normale pacchetto di $D$. Differenziando l'azione di traduzione di$A$, possiamo ottenere sezioni globali non 0 $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$, nel qual caso i poteri $\sigma^d$ spettacolo $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ per tutti $d>0$. Questo dimostra che$D$ ha una dimensione Kodaira non negativa: $\kappa(D) \geq 0$.
Nota : si sa che$D$ uniruled $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ per tutti $d > 0$ (e il contrario è una congettura), quindi quanto sopra è più o meno un'elaborazione dell'osservazione di Polizzi che $D$ non può essere uniruled.