Quali sono le equazioni standard per la modifica delle coordinate cartesiane in $\mathbb{R}^2$?

Question

Sto lavorando alla prima sezione dell'introduzione di Boothby ai collettori differenziabili e uno degli esercizi recita come segue:

Utilizzando equazioni standard per la modifica delle coordinate cartesiane, verificarlo $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, dove $m_1, m_2$ sono la pendenza di due linee, è indipendente dalla scelta delle coordinate.

Si dice che questo può essere fatto anche dimostrando che il suo valore è solo la tangente dell'angolo tra le due linee, ma credo che l'esercizio non sia pensato per essere completato in questo modo.

Non ho familiarità con le equazioni standard per il cambio di coordinate cartesiane. Sembra un cambio di coordinate in$\mathbb{R}^2$ sarebbe una trasformazione affine, anche se non ne sono sicuro.

La mia domanda è: quali sono le equazioni standard per il cambiamento delle coordinate cartesiane?

Answer 1

Poiché i gradienti sono invarianti sotto le traslazioni, possiamo presumere senza perdita di generalità che i due sistemi di coordinate cartesiane abbiano la stessa origine e ogni linea passi per quell'origine comune. La trasformazione dalle coordinate$x,\,y$ alle coordinate $X,\,Y$ soddisfa$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$per alcuni $\theta\in\Bbb R$. Se$y=mx$ e $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Finalmente,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$In conclusione, vale la pena notare che la richiesta di Boothby di utilizzare un cambio di coordinate cartesiane non solo ci dà più lavoro da fare del necessario, ma fa sembrare il risultato finale un incidente. Non è. Scrittura$m_1=\tan\theta_1$ eccetera., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, quindi il risultato deriva dall'invarianza rotazionale degli angoli nel piano.

Answer 2

Se hai due sistemi di coordinate cartesiane, $Oxy$ e $\Omega\xi\eta$, quindi l'equazione che li collega è $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ dove

1. la matrice $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ in invertibile e
2. $\xi(O)$ e $\eta(O)$ sono le coordinate di $O$ nel secondo sistema di coordinate.