Quando una mappa induce una struttura in una categoria concreta?

Question

Permettere $C$ essere una categoria concreta, lascia $A$ essere un set, lascia $B$ essere un oggetto in $C$, e lascia $f$ essere una funzione da $A$ al set sottostante di $B$. Allora esiste sempre un oggetto in$C$ il cui insieme sottostante è $A$ tale che $f$ è un morfismo in $C$? E se$f$ è una biiezione, allora esiste sempre un oggetto in $C$ il cui insieme sottostante è $A$ tale che $f$ è un isomorfismo in $C$?

Presumo che la risposta a queste domande sia no, ma esiste un nome per categorie concrete per le quali la risposta a una o entrambe le domande è sì? E se cambiassimo l'ordine di$A$ e $B$, in modo che l'insieme che viene trasformato in un oggetto sia il codominio della funzione piuttosto che il dominio?

Lo chiedo perché indurre una struttura su un set tramite una mappa è una costruzione molto comune in matematica, e mi chiedo se sia di origine teorica di categoria.

Answer 1

Fondamentalmente stai chiedendo delle proprietà di sollevamento del funtore concretizzante$U: C \rightarrow \underline{Set}$. Questo dovrebbe darti un'idea di cosa cercare se vuoi cercare più riferimenti su questo. Nota che possiamo anche studiare queste proprietà quando la categoria di destinazione del funtore è qualcosa di diverso da$\underline{Set}$.

I funtori dove possiamo sollevare qualsiasi morfismo sono molto rari. In effetti, generalmente non ti aspetteresti che i funtori smemorati di una categoria concreta abbiano questa proprietà, semplicemente perché l'idea di una categoria concreta è che la maggior parte delle funzioni in$\underline{Set}$ non sono morfismi delle strutture che compongono la categoria calcestruzzo.

I casi in cui possiamo solo sollevare biiezioni (solo sollevare isomorfismi, per una categoria obiettivo generale) sono ben noti e studiati, con i funtori in questione chiamati isofibrazioni . La tua intuizione che ci sono molti di questi casi deriva, tra le altre cose, dal fatto che il funtore smemorato della categoria delle algebre di una monade è sempre un'isofibrazione.

Answer 2

No. Considera solo la categoria $1$ con un oggetto e un morfismo (l'identità) e mappalo in Set praticamente in qualsiasi modo.