Quasi tutte le mappe lineari$V\rightarrow V$(in un certo sottospazio affine di tali mappe) è invertibile
Sto scrivendo un articolo. C'è un risultato su cui voglio essere rigoroso, ma non sono esattamente sicuro di come. Ecco l'allestimento:
Ho un vero spazio euclideo$V$che è isomorfo a$\mathbb{R}^n$. Considera l'insieme di tutte le mappe lineari$\operatorname{L}(V)$da$V$a se stesso, che è isomorfo all'insieme di$n\times n$matrici finite$\mathbb{R}$. Anche questo è un vero spazio euclideo ed è isomorfo a$\mathbb{R}^{n^2}$. Infine, lascia$A\subset\operatorname{L}(V)$essere un sottospazio affine che non contiene l'origine. (Nel mio articolo, questo è essenzialmente lo spazio affine di tutte le mappe lineari$f:V\rightarrow V$soddisfacente$f^*(v)=v$per qualche scelta fissa di vettore diverso da zero$v\in V$.)
Quello che voglio dire è questo: " Quasi tutte le mappe in$A$sono invertibili (nel senso che, rispetto alla misura di Lebesgue indotta su$A$, l'insieme delle mappe non invertibili ha misura zero). "
Questo è certamente vero. Ma il mio coautore non è convinto che questo sia banale come penso che sia --- e vorrebbe che fornissimo un ragionamento "rigoroso" per questo.
Il mio ragionamento: possiamo prendere in considerazione$A$come sottospazio affine di$\mathbb{R}^{n^2}$. Il determinante$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$è un polinomio e quindi$\operatorname{det}$è costantemente attivo$A$o l'insieme di zeri su$A$ha misura nulla. Il risultato desiderato segue dall'osservazione che una trasformazione lineare è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.
Questo ragionamento è valido? C'è qualcosa di accessibile che potrei citare qui?
Per inciso, volevo menzionare da dove viene questo. Nella teoria dell'informazione quantistica, un canale quantistico è una mappa lineare$\Phi:M_m\rightarrow M_m$questo è completamente positivo e preserva le tracce. In particolare, ogni canale quantistico è anche conservante hermitiano , quindi possiamo vederlo come una mappa lineare sull'insieme di$m\times m$Matrici hermitiane, che è un vero spazio euclideo. Quello che voglio dire è quanto segue: quasi tutti i canali quantistici sono invertibili come mappe lineari. (Anche se la mappatura inversa di solito non è anche un canale.)
Risposte
Ecco un modo per farlo nel tuo caso. Stai guardando$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$dove$v$è un vettore diverso da zero. Estendere$v$ad una base. Quindi rispetto a questa base$T\in A_v$se ha una matrice della forma$$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$dove$B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
Quindi ti sei identificato$A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$e$T\in A_v$è invertibile se$\det B \neq 0$. Quindi è il complemento dell'insieme zero di un polinomio in$\mathbb R^{n^2-n}$e quindi ha misura$0$.
EDIT: vediamo il tuo problema in un quadro più generale in cui$V$è uno spazio vettoriale su un campo infinito$k$e fai la stessa domanda.$L(V)=M_n(k)$è dotato di topologia Zariski. È facile vederlo$M_n(k)$è irriducibile. Quindi ogni insieme aperto non vuoto è denso. In particolare$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$è un sottoinsieme aperto denso. Da$A \subset M_n(k)$è un sottospazio lineare affine, è anche irriducibile. Quindi se$A\cap GL_n(k)$è non vuoto, allora è un denso sottoinsieme aperto di$A$. Il risultato è che l'esistenza di una mappa invertibile ti dà la densità di mappe invertibili in quel sottospazio affine.