Questo approccio è corretto nel trovare il più grande insieme aperto su cui questa funzione è analitica

Aug 17 2020

Questa domanda faceva parte del mio incarico nell'analisi complessa.

Trova il set aperto più grande su cui$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $è analitico.

scrissi$F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $e poi informatica$\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Poi dentro$F(t+h)$Io metterò$\mathrm{d}(t+h)$che ho messo uguale a$\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Quindi, sto ricevendo$3$integrali.

Ma c'è una confusione: il limite di$F(t)$è$0$a$1$Sopra$\mathrm{d}t$ma a causa di$\mathrm{d}(t+h)$all'interno dell'integrale di cui sto ottenendo il limite$\mathrm{d}h$pari anche a$0$a$1$e poi metterò il limite$h \rightarrow0$.

Dopodiché rimangono solo i calcoli. Quindi, il mio approccio è corretto? In caso contrario, gentilmente dimmi qual è l'errore e quale sarebbe l'approccio giusto.

Grazie!!

Risposte

1 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 23:56

Puoi usare la regola di Leibniz per gli integrali parametrici: If$D\subseteq\mathbb C$è aperto,$f:[a,b]\times D\to\mathbb C$è continuo, e$f_t(z):=f(t,z)$è analitico attivo$D$per tutti$t\in[a,b]$, poi

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

è analitico attivo$D$. Nel tuo esempio specifico,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, che è analitico attivo$\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$per tutti$t\in[0,1]$, da$f_t$è analitico ovunque tranne a$z=-\frac{1}{t}$. Quindi l'integrale in questione è analitico sul dominio che ho citato, e non è definito al di fuori di quel dominio, quindi quel dominio è anche il più grande su cui è analitico.