Quozienti di gruppi abeliani - finitezza residua ed elementi di ordine$p$

Aug 18 2020

Supponiamo$A$è un gruppo abeliano e$\pi$è un insieme di numeri primi. UN$\pi$-numero è un prodotto di numeri primi da$\pi$.

Supponiamo che per ciascuno$p \in \pi$,$A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ha esponente finito.

Supponi anche quello$A$è$\pi$-ridotto; non ci sono sottogruppi non banali di$A$quali sono$\pi$-divisibile. Cioè, per qualsiasi$H \leq A$c'è$h \in H$e$m$un$\pi$-number tale che per any$x \in H$,$x^m \neq h$.

Permettere$j \in \mathbb{N}$,$p \in \pi$e$m = p^jn$un$\pi$-numero dove$n$è relativamente primo a$p$.

  1. perché è$A/A^m$residualmente finito?

  2. perché lo fa$A^{p^j}/A^m$non hanno alcun elemento di ordine$p$?

Ecco il contesto di Infinite Soluble Groups:

Risposte

1 EricWofsey Aug 19 2020 at 05:05

$A/A^m$è un gruppo abeliano di esponente finito (in particolare, esponente che divide$m$), e ogni gruppo abeliano di esponente finito è somma diretta di gruppi ciclici e in particolare residualmente finito. Vedi ad esempio le risposte al gruppo abeliano infinito dove tutti gli elementi hanno ordine 1, 2 o 4 .

Poiché ogni elemento$a\in A/A^m$soddisfa$a^m=1$, ogni$p^j$esimo potere$a^{p^j}$soddisfa$(a^{p^j})^n=1$. Così l'ordine di$a^{p^j}$divide$n$, e quindi non può essere$p$. Questo è,$A^{p^j}/A^m$non ha elementi di ordine$p$.