Rappresentazioni integrali indecomponibili di un gruppo di ordine 2 "a mano"

Question

Questa domanda è un duplicato di quella domanda MO del 2010 .

Mi interessa classificare le classi di isomorfismo di $n$-Rappresentazioni integrali dimensionali del gruppo ciclico $C_2$ dell'ordine $2$. Chiaramente, qualsiasi rappresentazione integrale di$C_2$è una somma diretta di rappresentazioni integrali indecomponibili .

Il seguente risultato è noto:

Teorema. Il gruppo$C_2$ ha esattamente 3 classi di isomorfismo di rappresentazioni integrali indecomponibili:

(1) banale;

(2) la rappresentazione del segno;

(3) la rappresentazione bidimensionale con matrice $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

Questo risultato è stato affermato nella risposta di Victor Protsak . Vedi anche la risposta di Todd Leason .

Nel suo commento Victor Protsak fa un riferimento. Scrive: "Curtis e Reiner, capitolo 11. È un caso speciale di un teorema nella sezione 74 che classifica rappresentazioni integrali di gruppi ciclici di ordine primo. Naturalmente, questo caso è molto più semplice e può essere fatto a mano".

Domanda. Come dimostrare "a mano" il teorema di cui sopra, senza riferimento al libro di Curtis e Reiner?

Motivazione: sto lavorando ora con l'algebrica$\mathbb R$-tori. Sono classificati in base a rappresentazioni integrali del gruppo Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, che è un gruppo di ordine $2$. Per comprendere la ben nota classificazione di indecomponibile$\mathbb R$-tori, ho bisogno di capire la ben nota classificazione delle rappresentazioni integrali indecomponibili di ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.

Ho posto questa domanda apparentemente elementare su Mathematics StackExchange , ma non ho ricevuto risposte o commenti, quindi lo chiedo qui.

Answer 1

In Computing with real tori , Casselman ha una bella recensione di questo teorema dal punto di vista non solo per provare che questi sono gli unici tori indecomponibili, ma, supponendo che ti venga data una rappresentazione integrale esplicita di$\operatorname C_2$, trovare / calcolare esplicitamente la sua scomposizione in queste tre rappresentazioni.

In effetti, se tu (tu il lettore generale, non necessariamente @MikhailBorovoi) non hai familiarità con il recente lavoro di Bill Casselman, vale la pena dare un'occhiata alla sua pagina http://www.math.ubc.ca/~cass; è stato molto interessato per un po 'a fare calcoli reali, nel senso di cose che possono essere inserite in un computer, relative a gruppi algebrici. Quanto sopra è un esempio; altri possono essere trovati suhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, incluso, ad esempio, Il calcolo delle costanti di struttura secondo Jacques Tits: cose che tutti sappiamo possono essere fatte ma che la maggior parte di noi (almeno io!) rifuggirebbe dal fare effettivamente , qui presentato in un modo che dimostra come per eseguirlo praticamente.

(Ci sono anche alcune cose carine sulla grafica matematica !)