Rappresentazioni regolari dei gruppi di Galois

Question

Supponiamo$\mathcal{G}_k$è il gruppo di Galois assoluto di un campo numerico$k$.

$\mathcal{G}_k$è un gruppo topologico, con topologia finita. Come si applica ad essa la teoria dell'analisi armonica delle rappresentazioni regolari di gruppi localmente compatti? Su quale funzione spazia$\mathcal{G}_k$è significativo da considerare; come fanno le rappresentazioni regolari (destra o sinistra) di$\mathcal{G}_k$su di essi si decompongono in irriducibili; quali irriducibili si verificano; e qual è l'analogo della misura di Plancherel?

Answer 1

Il gruppo di Galois assoluto (di qualsiasi campo) non è solo localmente compatto, è compatto. Ciò rende l'analisi armonica di esso completamente risolta dalla teoria di Peter-Well.

In particolare, la rappresentazione regolare è la somma diretta di Hilbert di ciascuna rappresentazione irriducibile, che ha tutte dimensione finita, ciascuna con molteplicità pari alla sua dimensione.