Realizzazione del gruppo metaciclico di ordine 21

Question

Vorrei capire i gruppi di ordine non abeliani$pq$(insieme a$q | p-1$) meglio. Per$q=2$questo è il gruppo diedro con cui mi trovo a mio agio.

Per ciascuno$pq$So che esiste esattamente uno di questi gruppi. È un prodotto semidiretto. La sua struttura Sylow è$n_q = p$e$n_p = 1$. Non so molto di loro.

Ho calcolato i seguenti ordini di gruppo interessanti 21, 39, 55, 57, 93. E chiederò circa 21.

Qual è la simmetria del gruppo non abeliano di ordine 21?

Ho fatto ricerche su questo e non ho trovato una buona risposta. Non penso che sia la simmetria delle rotazioni di un poliedro o qualsiasi rompicapo. Ho visto che il piano fano ha 7 linee e 3 punti su ogni linea ma non so se si può usare. Questi gruppi agiscono naturalmente su un codice di design di qualche tipo? O c'è un modo migliore per capirli a un livello più profondo? Grazie!

Answer 1

Su ogni campo$F$c'è un gruppo di trasformazioni affini

$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$

agendo sulla linea affine$\mathbb{A}^1(F)$(che come insieme è giusto$F$). Equivalentemente questo è un gruppo di$2 \times 2$matrici

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$

Su un campo finito$F = \mathbb{F}_q$otteniamo una famiglia di non abeliani (tranne quando$q = 2$) gruppi di ordine$q(q - 1)$che sono prodotti semidiretti costruiti dall'azione di$\mathbb{F}_q^{\times}$Su$\mathbb{F}_q$per moltiplicazione. Inoltre possiamo considerare i sottogruppi di questo gruppo restringendo$a$ad un sottogruppo di$F^{\times}$. Tutti i gruppi che ti interessano possono essere costruiti in questo modo.

Il gruppo specifico che ti interessa si verifica quando$q = 7$e$a$è limitato a trovarsi nel sottogruppo$(\mathbb{F}_7^{\times})^2$di elementi quadrati di$\mathbb{F}_7^{\times}$. È un gruppo di Frobenius e secondo quella pagina agisce anche sul piano di Fano.