Relazione tra proiezione di$y$su$x_1, x_2$individualmente vs. proiezione su entrambi?
Questo è essenzialmente simile alla domanda che ho appena posto su cross validated , ma qui lo porrò in un modo di algebra lineare.
Ritenere$y \in \mathbb{R}^n$e$x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$. Supponiamo di proiettare ortogonalmente$y$su$x_1, 1_n$e trova la proiezione di$y$nel subspazio attraversato da$x_1, 1_n$può essere scritto come$\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$, cioè una combinazione lineare di$x_1$più qualche compensazione. Ora fai lo stesso per la proiezione ortogonale di$y$su$x_2, 1_n$e trova$\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$.
Consideriamo ora la proiezione$y$nel subspazio attraversato da entrambi$x_1, x_2, 1_n$e trova$\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$.
Se$x_1 \perp x_2$, allora lo so$\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$. Ma cosa succede se non sono ortogonali?
Cosa posso dire della relazione tra$\hat{\beta}$e$\hat{\gamma}$in questo caso?
Alcune domande specifiche che mi interessano anche sono se$\hat{\beta} >0 $, questo implica$\hat{\gamma} > 0$? Se$x_1, x_2$sono linearmente dipendenti, quindi non credo che questo non sarà vero per uno dei coefficienti.
Risposte
Non posso dire di aver compreso completamente cosa fossero quelle costanti$b_1$,$b_2$o$b_{12}$sono per. Ma ho capito il succo della tua domanda e farò del mio meglio.
Dire la proiezione ortogonale di$y$nel subspazio attraversato da$x_1$può essere scritto come$\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$, cioè una combinazione lineare di$x_1$. Ora facciamo lo stesso per la proiezione ortogonale di$y$su$x_2$e trova$\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$.
Inoltre abbiamo la proiezione di$y$nel subspazio attraversato da entrambi$x_1, x_2$e trova$\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$.
Senza perdita di generalità possiamo dire i vettori$x_1$e$x_2$sono vettori unitari e li rappresentano con$\hat{x_1}$e$\hat{x_2}$. Se non vuoi farlo, riscrivi tutti i vettori in termini di$\hat{x_1}$e$\hat{x_2}$. Quindi, per esempio,$\hat{\beta_1}$diventerà$\hat{\beta_1} ||x_1||$
Ora, considera questa affermazione. La proiezione ortogonale di$\hat{y_{12}}$su$x_1$sarebbe lo stesso di$\hat{y_1}$e la proiezione ortogonale di$\hat{y_{12}}$su$x_2$sarebbe lo stesso di$\hat{y_2}$.
Quindi, per definizione di proiezione,
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
Allo stesso modo possiamo risolvere$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ottenere
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
Ecco qua. Abbiamo 2 equazioni e 2 incognite.
Ovviamente dovremmo conoscere il valore di$\hat{x_1}.\hat{x_2}$, in altre parole il coseno dell'angolo tra di loro, per ottenere le relazioni richieste. Nel caso in cui$\hat{x_1}$e$\hat{x_2}$sono ortogonali,$cos \frac{\pi}{2}=0$e quindi il risultato che hai dato$\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$.